Номер 6.4.3, страница 177, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.4.3. Луч света, идущий из толщи воды, претерпевает полное внутреннее отражение на ее поверхности. Выйдет ли луч в воздух, если на поверхность воды вылить слой кедрового масла?

Дано:

Луч света, идущий из воды в воздух, претерпевает полное внутреннее отражение (ПВО).

Показатель преломления воды: $n_{воды} \approx 1.33$

Показатель преломления воздуха: $n_{воздуха} \approx 1.00$

Показатель преломления кедрового масла: $n_{масла} \approx 1.51$

Найти:

Выйдет ли луч света в воздух, если на поверхность воды налить слой кедрового масла?

Решение:

Явление полного внутреннего отражения (ПВО) возникает, когда свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную ($n_1 > n_2$) и угол падения $\alpha$ превышает или равен предельному углу $\alpha_{пр}$. Предельный угол определяется по формуле:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{n_2}{n_1}$

1. Рассмотрим начальную ситуацию: луч идет из воды в воздух.

Среда 1: вода ($n_{воды}$). Среда 2: воздух ($n_{воздуха}$).

По условию, луч претерпевает ПВО. Это означает, что угол падения луча $\alpha$ на границу раздела вода-воздух не меньше предельного угла для этой границы $\alpha_{пр(вода \to воздух)}$:

$\alpha \ge \alpha_{пр(вода \to воздух)}$

В виде синусов это неравенство выглядит так:

$\sin(\alpha) \ge \sin(\alpha_{пр(вода \to воздух)}) = \frac{n_{воздуха}}{n_{воды}}$

Это исходное условие задачи.

2. Теперь на поверхность воды налит слой кедрового масла. Система состоит из трех сред: вода ($n_{воды}$), кедровое масло ($n_{масла}$), воздух ($n_{воздуха}$). Луч света проходит последовательно две границы раздела.

Граница 1: вода – масло.

Луч падает на эту границу под тем же углом $\alpha$. Сравним показатели преломления: $n_{воды} \approx 1.33$, а $n_{масла} \approx 1.51$. Так как $n_{воды} < n_{масла}$, свет переходит из оптически менее плотной среды в более плотную. В этом случае полное внутреннее отражение невозможно. Луч света в любом случае преломится и войдет в слой масла под некоторым углом преломления $\beta$.

Согласно закону Снеллиуса для этой границы:

$n_{воды} \sin(\alpha) = n_{масла} \sin(\beta)$

Граница 2: масло – воздух.

Так как слой масла налит на ровную поверхность воды, границы "вода-масло" и "масло-воздух" параллельны. Поэтому угол падения луча на вторую границу равен углу преломления на первой, то есть $\beta$.

На этой границе свет переходит из масла ($n_{масла}$) в воздух ($n_{воздуха}$). Так как $n_{масла} > n_{воздуха}$, здесь возможно полное внутреннее отражение.

Луч выйдет в воздух, если угол падения $\beta$ будет меньше предельного угла для границы масло-воздух $\alpha_{пр(масло \to воздух)}$:

$\beta < \alpha_{пр(масло \to воздух)}$

Предельный угол для этой границы равен:

$\sin(\alpha_{пр(масло \to воздух)}) = \frac{n_{воздуха}}{n_{масла}}$

Таким образом, для выхода луча в воздух должно выполняться условие:

$\sin(\beta) < \frac{n_{воздуха}}{n_{масла}}$

Из закона Снеллиуса для первой границы выразим $\sin(\beta) = \frac{n_{воды}}{n_{масла}} \sin(\alpha)$. Подставим это в неравенство:

$\frac{n_{воды}}{n_{масла}} \sin(\alpha) < \frac{n_{воздуха}}{n_{масла}}$

Умножив обе части на $n_{масла}$, получаем условие для выхода луча в воздух, выраженное через начальный угол падения $\alpha$:

$n_{воды} \sin(\alpha) < n_{воздуха}$ или $\sin(\alpha) < \frac{n_{воздуха}}{n_{воды}}$

Однако из начального условия задачи мы знаем, что $\sin(\alpha) \ge \frac{n_{воздуха}}{n_{воды}}$.

Полученное нами условие для выхода луча в воздух ($\sin(\alpha) < \frac{n_{воздуха}}{n_{воды}}$) прямо противоречит исходному условию задачи ($\sin(\alpha) \ge \frac{n_{воздуха}}{n_{воды}}$). Следовательно, условие для выхода луча в воздух не выполняется. На границе масло-воздух произойдет полное внутреннее отражение.

Ответ: Нет, луч не выйдет в воздух. Он войдет в слой масла, но затем претерпит полное внутреннее отражение на границе масла с воздухом и вернется обратно в масло.