Номер 6.4.4, страница 177, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.4.4. Точечный источник света расположен на дне водоема глубиной 3 м. Определите максимальный путь, который свет проходит в воде до выхода в воздух. Относительный показатель преломления воды составляет $\frac{4}{3}$. (Ответ: 4,5 м.)

Дано:

Глубина водоема, $h = 3$ м

Относительный показатель преломления воды, $n = \frac{4}{3}$

Найти:

Максимальный путь света в воде до выхода в воздух, $S_{max}$

Решение:

Свет от точечного источника на дне водоема распространяется прямолинейно во всех направлениях. Путь $S$, который проходит луч света в воде до выхода на поверхность, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Одним катетом этого треугольника является глубина водоема $h$, а другой катет — это горизонтальное смещение луча по дну. Угол падения $\alpha$ — это угол между лучом света (гипотенузой) и нормалью к поверхности (катетом $h$).

Из этого прямоугольного треугольника можно выразить путь $S$ через глубину $h$ и угол падения $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{h}{S}$, откуда $S = \frac{h}{\cos \alpha}$.

Чтобы найти максимальный путь $S_{max}$, необходимо найти условие, при котором $S$ принимает наибольшее значение. Так как глубина $h$ постоянна, путь $S$ будет максимальным, когда знаменатель $\cos \alpha$ будет минимальным. Минимальное значение косинуса в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ соответствует максимальному значению угла $\alpha$.

Свет может выйти из оптически более плотной среды (воды) в оптически менее плотную (воздух) только в том случае, если угол падения не превышает предельный (критический) угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$. При угле падения, равном предельному, преломленный луч скользит вдоль границы раздела сред, то есть угол преломления $\beta = 90^\circ$.

Таким образом, максимальный путь в воде соответствует лучу, падающему на поверхность под предельным углом $\alpha_{пр}$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

В нашем случае $n_1 = n = 4/3$ (вода), $n_2 = n_{воздуха} \approx 1$. Для предельного угла $\alpha = \alpha_{пр}$ и $\beta = 90^\circ$:

$n \sin \alpha_{пр} = 1 \cdot \sin 90^\circ$

$\frac{4}{3} \sin \alpha_{пр} = 1$

$\sin \alpha_{пр} = \frac{3}{4}$

Для нахождения максимального пути $S_{max} = \frac{h}{\cos \alpha_{пр}}$ нам необходимо найти $\cos \alpha_{пр}$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos \alpha_{пр} = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha_{пр}} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Теперь подставим известные значения в формулу для максимального пути:

$S_{max} = \frac{h}{\cos \alpha_{пр}} = \frac{3 \text{ м}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{7}}$ м.

Вычислим численное значение:

$S_{max} \approx \frac{12}{2,646} \approx 4,535$ м.

При округлении до одного знака после запятой получаем 4,5 м.

Ответ: $S_{max} = \frac{12}{\sqrt{7}} \text{ м} \approx 4,5 \text{ м.}$