Номер 6.4.8, страница 177, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.4.8. На поверхности жидкости с показателем преломления $\sqrt{2}$ плавает черный диск радиусом 80 см. Под диском вдоль его оси с глубины 1 м начинает подниматься вертикально вверх с постоянной скоростью 5 мм/с точечный источник света. Через какое время источник перестанет быть видимым для внешнего наблюдателя? (Ответ: 40 с.)

Дано:

Показатель преломления жидкости, $n = \sqrt{2}$

Радиус диска, $R = 80$ см

Начальная глубина источника, $H = 1$ м

Скорость источника, $v = 5$ мм/с

Показатель преломления воздуха, $n_0 = 1$

Перевод в систему СИ:

$R = 0.8$ м

$H = 1$ м

$v = 0.005$ м/с

Найти:

Время, через которое источник перестанет быть видимым, $t$

Решение:

Источник света, находящийся в оптически более плотной среде (жидкости), перестанет быть видимым для внешнего наблюдателя (в воздухе), если лучи света от него не смогут выйти из жидкости в воздух. Это происходит в двух случаях: либо лучи перекрыты непрозрачным диском, либо они испытывают полное внутреннее отражение на границе жидкость-воздух.

Полное внутреннее отражение наступает, когда угол падения луча на границу раздела сред $\alpha$ превышает или равен предельному (критическому) углу $\alpha_{пр}$. Предельный угол определяется из закона Снеллиуса:

$n \sin(\alpha_{пр}) = n_0 \sin(90^\circ)$

Поскольку $n_0 = 1$ и $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n}$

Источник станет полностью невидимым в тот момент, когда лучи, идущие по самому краю диска, будут падать на поверхность жидкости под предельным углом $\alpha_{пр}$. В этот момент все лучи, не заблокированные диском, будут испытывать полное внутреннее отражение.

Пусть в этот момент источник находится на глубине $h$. Из геометрии задачи (рассматривая прямоугольный треугольник, образованный глубиной $h$, радиусом диска $R$ и путем луча) следует:

$\tan(\alpha_{пр}) = \frac{R}{h}$

Отсюда можно выразить глубину $h$, на которой источник станет невидимым:

$h = \frac{R}{\tan(\alpha_{пр})}$

Найдем $\tan(\alpha_{пр})$, зная $\sin(\alpha_{пр})$, используя тригонометрическое тождество $\tan^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ или проще: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}}$.

$\tan(\alpha_{пр}) = \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1 - (\frac{1}{n})^2}} = \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}}} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Подставим это выражение в формулу для глубины $h$:

$h = \frac{R}{\frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}} = R \sqrt{n^2 - 1}$

Теперь вычислим значение этой глубины:

$h = 0.8 \cdot \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1} = 0.8 \cdot \sqrt{2 - 1} = 0.8 \cdot \sqrt{1} = 0.8$ м

Источник начинает движение с глубины $H = 1$ м и становится невидимым на глубине $h = 0.8$ м. Расстояние, которое он должен пройти вверх, равно:

$\Delta h = H - h = 1 \text{ м} - 0.8 \text{ м} = 0.2$ м

Источник движется с постоянной скоростью $v$. Время, необходимое для прохождения пути $\Delta h$, можно найти по формуле:

$t = \frac{\Delta h}{v}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{0.2 \text{ м}}{0.005 \text{ м/с}} = 40$ с

Ответ: 40 с.