Номер 6.4.5, страница 177, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.4.5. В стекле имеется воздушная сферическая полость радиусом 15 мм. На полость падает широкий пучок, параллельный лучам света. Определите радиус светового пучка, который проникает в полость. Показатель преломления стекла 1,5. (Ответ: 10 мм.)

Дано:

Радиус сферической полости: $R = 15 \text{ мм}$

Показатель преломления стекла: $n_1 = 1,5$

Показатель преломления воздуха (внутри полости): $n_2 = 1$

Перевод всех данных в систему СИ:

$R = 15 \text{ мм} = 0,015 \text{ м}$

Найти:

$r$ — радиус светового пучка, который проникает в полость.

Решение:

Параллельный пучок света, распространяясь в стекле, падает на границу раздела "стекло-воздух", которой является сферическая поверхность полости. При переходе из оптически более плотной среды (стекло) в менее плотную (воздух) может наблюдаться явление полного внутреннего отражения.

Свет проникнет в полость только в том случае, если угол падения луча на поверхность $\alpha$ не превышает предельный (критический) угол полного внутреннего отражения $\alpha_{кр}$. Лучи, падающие под углом больше критического, будут полностью отражаться обратно в стекло и не попадут внутрь полости.

Рассмотрим крайний луч пучка, который еще может проникнуть в полость. Он падает на поверхность сферы на некотором расстоянии $r$ от оптической оси, проходящей через центр сферы. Это расстояние $r$ и будет искомым радиусом светового пучка. Угол падения этого луча равен критическому углу $\alpha_{кр}$.

Из геометрии видно, что радиус пучка $r$, радиус сферы $R$ и угол падения $\alpha$ связаны соотношением:

$r = R \cdot \sin(\alpha)$

Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{кр}$ определяется по закону Снеллиуса для случая, когда угол преломления $\beta = 90^\circ$:

$n_1 \sin(\alpha_{кр}) = n_2 \sin(\beta)$

$n_1 \sin(\alpha_{кр}) = n_2 \sin(90^\circ)$

$n_1 \sin(\alpha_{кр}) = n_2 \cdot 1$

Отсюда синус критического угла:

$\sin(\alpha_{кр}) = \frac{n_2}{n_1}$

Максимальный радиус пучка $r$, который проникает в полость, соответствует падению лучей под критическим углом:

$r = R \cdot \sin(\alpha_{кр}) = R \cdot \frac{n_2}{n_1}$

Подставим числовые значения:

$r = 15 \text{ мм} \cdot \frac{1}{1,5} = \frac{15}{1,5} \text{ мм} = 10 \text{ мм}$

Ответ: 10 мм.