Номер 11, страница 64 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Атомная и ядерная физика. Задачи для повторения - номер 11, страница 64.

Условие.

11. Какая масса урана-238 расщепляется при работе атомной электростанции тепловой мощностью 1 МВт за сутки, если КПД электростанции 20 %? Считайте, что дефект массы при делении ядра урана равен $4 \cdot 10^{-28}$ кг.

Решение.

Дано:

Тепловая мощность атомной электростанции: $P_{т} = 1 \text{ МВт}$

Время работы: $t = 1 \text{ сутки}$

КПД электростанции: $\eta = 20 \% $

Дефект массы при делении одного ядра урана: $\Delta m_1 = 4 \cdot 10^{-28} \text{ кг}$

Изотоп урана: Уран-238 ($^{238}U$)

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Молярная масса урана-238: $M_r = 238 \text{ г/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$P_{т} = 1 \text{ МВт} = 1 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

$t = 1 \text{ сутки} = 24 \text{ часа} \cdot 3600 \text{ с/час} = 86400 \text{ с}$

$M_r = 238 \text{ г/моль} = 0.238 \text{ кг/моль}$

Найти:

Массу урана-238, которая расщепляется: $M - ?$

Решение:

1. Сначала определим полную тепловую энергию $E_{т}$, которая выделяется в реакторе за сутки. Она равна произведению тепловой мощности $P_{т}$ на время работы $t$.

$E_{т} = P_{т} \cdot t$

$E_{т} = 1 \cdot 10^6 \text{ Вт} \cdot 86400 \text{ с} = 8.64 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$

Значение КПД в данном случае является избыточной информацией, поскольку в условии дана именно тепловая мощность, которая напрямую связана с энергией, выделяющейся при делении ядер, а не электрическая мощность, получаемая на выходе станции.

2. Энергия $E_1$, выделяющаяся при делении одного ядра урана, связана с дефектом массы $\Delta m_1$ соотношением Эйнштейна:

$E_1 = \Delta m_1 \cdot c^2$

$E_1 = (4 \cdot 10^{-28} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 4 \cdot 10^{-28} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} = 3.6 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

3. Теперь мы можем найти общее количество ядер урана $N$, которые должны распасться, чтобы выделилась полная тепловая энергия $E_{т}$:

$N = \frac{E_{т}}{E_1}$

$N = \frac{8.64 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{3.6 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}} = 2.4 \cdot 10^{21}$

4. Чтобы найти искомую массу урана, нам нужна масса одного ядра урана-238 ($m_U$). Её можно вычислить, разделив молярную массу урана $M_r$ на число Авогадро $N_A$:

$m_U = \frac{M_r}{N_A}$

$m_U = \frac{0.238 \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 3.952 \cdot 10^{-25} \text{ кг}$

5. Наконец, общая масса урана $M$, которая расщепилась, равна произведению количества распавшихся ядер $N$ на массу одного ядра $m_U$:

$M = N \cdot m_U$

$M = (2.4 \cdot 10^{21}) \cdot (3.952 \cdot 10^{-25} \text{ кг}) \approx 9.485 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$

Для удобства представим результат в граммах:

$M \approx 9.485 \cdot 10^{-4} \text{ кг} \cdot 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} \approx 0.95 \text{ г}$

Ответ: Масса расщепленного урана-238 составляет приблизительно $0.95$ г.