Номер 10, страница 64 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Атомная и ядерная физика - номер 10, страница 64.

Условие.

10. Период полураспада радиоактивного хрома составляет 27,8 сут. За какое время распадётся 80 % радиоактивных атомов?

Решение.

Дано:

Период полураспада радиоактивного хрома: $T_{1/2} = 27,8 \text{ сут}$

Доля распавшихся атомов: $k = 80\% = 0,8$

Найти:

Время $t$ — ?

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся атомов $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством атомов $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Согласно условию, за время $t$ должно распасться 80% атомов. Это означает, что к моменту времени $t$ останется нераспавшейся следующая доля атомов:

$N(t) = N_0 \cdot (1 - 0,8) = 0,2 \cdot N_0$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $N(t)$:

$0,2 \cdot N_0 = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Сократим $N_0$ в обеих частях уравнения:

$0,2 = 2^{-t/T_{1/2}}$

Для того чтобы найти $t$, прологарифмируем обе части уравнения. Удобнее всего использовать натуральный логарифм ($\ln$):

$\ln(0,2) = \ln(2^{-t/T_{1/2}})$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем:

$\ln(0,2) = -\frac{t}{T_{1/2}} \cdot \ln(2)$

Выразим из этого уравнения время $t$:

$t = -T_{1/2} \cdot \frac{\ln(0,2)}{\ln(2)}$

Подставим известные числовые значения и произведем расчет:

$t = -27,8 \text{ сут} \cdot \frac{\ln(0,2)}{\ln(2)} \approx -27,8 \cdot \frac{-1,6094}{0,6931} \approx -27,8 \cdot (-2,3219) \approx 64,55 \text{ сут}$

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем:

$t \approx 64,6 \text{ сут}$

Ответ: для распада 80% радиоактивных атомов хрома потребуется примерно 64,6 суток.