Номер 5, страница 64 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Атомная и ядерная физика. Задачи для повторения - номер 5, страница 64.

Условие.

5. Определите длину волны де Бройля для электрона атома водорода, находящегося в невозбуждённом состоянии.

Решение.

Дано:
Атом водорода в невозбуждённом (основном) состоянии.
Главное квантовое число: $n=1$.
Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг.
Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с.
Радиус первой боровской орбиты (радиус Бора): $a_0 = r_1 \approx 5.29 \times 10^{-11}$ м.

Найти:
Длину волны де Бройля для электрона, $\lambda$.

Решение:
Длина волны де Бройля $\lambda$ для частицы связана с её импульсом $p$ соотношением:
$\lambda = \frac{h}{p}$
где $h$ – постоянная Планка, а $p = m_e v$ – импульс электрона ($m_e$ – масса электрона, $v$ – его скорость).

Для нахождения импульса электрона в атоме водорода воспользуемся постулатом Бора о квантовании орбит. Согласно этому постулату, момент импульса электрона на стационарной орбите квантуется:
$L = m_e v_n r_n = n \frac{h}{2\pi}$
где $n$ – главное квантовое число, $v_n$ – скорость электрона на n-ой орбите, $r_n$ – радиус n-ой орбиты.

Для невозбуждённого (основного) состояния атома водорода главное квантовое число $n=1$. Радиус первой орбиты $r_1$ является боровским радиусом $a_0$. Тогда для основного состояния:
$m_e v_1 r_1 = 1 \cdot \frac{h}{2\pi}$
Выразим импульс электрона $p_1 = m_e v_1$:
$p_1 = \frac{h}{2\pi r_1}$

Теперь подставим это выражение для импульса в формулу для длины волны де Бройля:
$\lambda = \frac{h}{p_1} = \frac{h}{\frac{h}{2\pi r_1}} = 2\pi r_1$

Таким образом, длина волны де Бройля для электрона на первой боровской орбите равна длине этой орбиты. Подставим числовое значение радиуса первой боровской орбиты $r_1 = a_0 \approx 5.29 \times 10^{-11}$ м:
$\lambda = 2\pi \cdot (5.29 \times 10^{-11} \text{ м}) \approx 2 \cdot 3.14159 \cdot 5.29 \times 10^{-11} \text{ м} \approx 3.32 \times 10^{-10}$ м.

Ответ: Длина волны де Бройля для электрона в невозбуждённом атоме водорода составляет примерно $3.32 \times 10^{-10}$ м.