Номер 1, страница 64 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Атомная и ядерная физика - номер 1, страница 64.

Условие.

1. Электроны ускоряют при помощи электрического поля с разностью потенциалов 12,3 В и направляют на атомарный водород. Определите длины волн, излучаемых водородом при переходе из возбуждённого состояния в основное.

Решение.

Дано:

Разность потенциалов $U = 12,3 \text{ В}$
Элементарный заряд $e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Энергия ионизации водорода $E_0 = 13,6 \text{ эВ}$
Постоянная Ридберга $R = 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}$

Перевод в СИ:
$E_0 = 13,6 \text{ эВ} = 13,6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2,18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

Длины волн излучения $\lambda$

Решение:

Кинетическая энергия, которую приобретают электроны, ускоряясь в электрическом поле с разностью потенциалов $U$, равна работе этого поля: $E_k = eU$. Для удобства расчетов выразим эту энергию в электрон-вольтах (эВ):
$E_k = 12,3 \text{ эВ}$

При столкновении с атомами водорода, находящимися в основном состоянии (на первом энергетическом уровне, $n=1$), электроны могут передать им свою энергию, переводя их в возбужденные состояния. Атом водорода может перейти на энергетический уровень $n$, если энергия электрона $E_k$ не меньше энергии, необходимой для этого перехода. Энергия уровней атома водорода определяется формулой:
$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$, где $E_0 = 13,6 \text{ эВ}$.

Найдем энергии для нескольких первых уровней и соответствующие энергии возбуждения из основного состояния $\Delta E_{1 \to n} = E_n - E_1$:
- Основное состояние ($n=1$): $E_1 = -13,6 / 1^2 = -13,6 \text{ эВ}$.
- Первое возбужденное состояние ($n=2$): $E_2 = -13,6 / 2^2 = -3,4 \text{ эВ}$. Энергия возбуждения: $\Delta E_{1 \to 2} = -3,4 - (-13,6) = 10,2 \text{ эВ}$.
- Второе возбужденное состояние ($n=3$): $E_3 = -13,6 / 3^2 \approx -1,51 \text{ эВ}$. Энергия возбуждения: $\Delta E_{1 \to 3} = -1,51 - (-13,6) = 12,09 \text{ эВ}$.
- Третье возбужденное состояние ($n=4$): $E_4 = -13,6 / 4^2 = -0,85 \text{ эВ}$. Энергия возбуждения: $\Delta E_{1 \to 4} = -0,85 - (-13,6) = 12,75 \text{ эВ}$.

Сравнивая энергию налетающих электронов $E_k = 12,3 \text{ эВ}$ с необходимыми энергиями возбуждения, видим, что:
$\Delta E_{1 \to 2} < E_k$
$\Delta E_{1 \to 3} < E_k$
$\Delta E_{1 \to 4} > E_k$
Это означает, что максимальный энергетический уровень, на который могут быть возбуждены атомы водорода, это $n=3$.

При возвращении в основное состояние ($n=1$) возбужденные атомы излучают фотоны. Поскольку атомы могут находиться на уровнях $n=2$ и $n=3$, возможны следующие переходы, приводящие к излучению:
1. С уровня $n=2$ на уровень $n=1$.
2. С уровня $n=3$ на уровень $n=1$ (прямой переход).
3. С уровня $n=3$ на уровень $n=2$ (первый этап каскадного перехода $3 \to 2 \to 1$).
Следовательно, в спектре излучения будут наблюдаться три линии.

Длины волн для этих переходов можно найти с помощью обобщенной формулы Бальмера:
$\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$, где $n_1$ и $n_2$ - номера конечного и начального уровней ($n_2 > n_1$), а $R$ - постоянная Ридберга.

- Для перехода $2 \to 1$:
$\frac{1}{\lambda_{21}} = R (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = \frac{3}{4}R$
$\lambda_{21} = \frac{4}{3R} = \frac{4}{3 \cdot 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 1,216 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 121,6 \text{ нм}$.

- Для перехода $3 \to 1$:
$\frac{1}{\lambda_{31}} = R (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) = \frac{8}{9}R$
$\lambda_{31} = \frac{9}{8R} = \frac{9}{8 \cdot 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 1,026 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 102,6 \text{ нм}$.

- Для перехода $3 \to 2$:
$\frac{1}{\lambda_{32}} = R (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5}{36}R$
$\lambda_{32} = \frac{36}{5R} = \frac{36}{5 \cdot 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}} \approx 6,565 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 656,5 \text{ нм}$.

Ответ: При переходе из возбужденного состояния в основное водород будет излучать волны с длинами 102,6 нм, 121,6 нм и 656,5 нм.