Номер 6, страница 64 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Атомная и ядерная физика. Задачи для повторения - номер 6, страница 64.

Условие.

6. Оцените плотность ядерного вещества и концентрацию нуклонов в ядре.

Решение.

Дано:

Масса нуклона (протона или нейтрона), $m_n \approx 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг

Эмпирический коэффициент в формуле для радиуса ядра, $R_0 \approx 1,2 \cdot 10^{-15}$ м

Найти:

Плотность ядерного вещества, $ρ$ - ?

Концентрация нуклонов в ядре, $n$ - ?

Решение:

Оценка плотности ядерного вещества

Плотность $ρ$ определяется как отношение массы $m$ к объему $V$: $ρ = \frac{m}{V}$.

Массу ядра можно оценить как произведение массового числа $A$ (общего числа нуклонов) на массу одного нуклона $m_n$: $m \approx A \cdot m_n$.

Ядро можно считать сферическим, поэтому его объем $V$ равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – радиус ядра.

Радиус ядра связан с массовым числом $A$ эмпирической формулой: $R = R_0 \cdot A^{1/3}$, где $R_0$ – константа.

Подставим выражения для массы и объема в формулу плотности:

$ρ = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3}\pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3}\pi R_0^3 A}$

Как видно из формулы, массовое число $A$ сокращается. Это означает, что плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех атомных ядер.

$ρ = \frac{m_n}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}$

Подставим числовые значения:

$ρ = \frac{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{\frac{4}{3}\pi (1,2 \cdot 10^{-15} \text{ м})^3} \approx \frac{1,67 \cdot 10^{-27}}{7,24 \cdot 10^{-45}} \approx 2,3 \cdot 10^{17} \text{ кг/м}^3$

Эта плотность колоссальна. Для сравнения, плотность воды – $10^3 \text{ кг/м}^3$, а плотность самого тяжелого элемента осмия – $2,26 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3$. Вещество с ядерной плотностью встречается, например, в нейтронных звездах.

Ответ: Плотность ядерного вещества составляет порядка $2,3 \cdot 10^{17} \text{ кг/м}^3$.

Оценка концентрации нуклонов в ядре

Концентрация нуклонов $n$ – это число нуклонов $N$ в единице объема $V$: $n = \frac{N}{V}$.

Число нуклонов в ядре равно массовому числу $A$, то есть $N=A$. Объем ядра $V = \frac{4}{3}\pi R_0^3 A$.

Тогда концентрация равна:

$n = \frac{A}{\frac{4}{3}\pi R_0^3 A} = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi R_0^3}$

Видно, что концентрация нуклонов, как и плотность, не зависит от размера ядра.

Подставим числовое значение для $R_0$:

$n = \frac{1}{\frac{4}{3}\pi (1,2 \cdot 10^{-15} \text{ м})^3} \approx \frac{1}{7,24 \cdot 10^{-45}} \approx 1,38 \cdot 10^{44} \text{ м}^{-3}$

Также концентрацию можно было найти, разделив плотность ядерного вещества на массу одного нуклона:

$n = \frac{ρ}{m_n} = \frac{2,3 \cdot 10^{17} \text{ кг/м}^3}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}} \approx 1,38 \cdot 10^{44} \text{ м}^{-3}$

Ответ: Концентрация нуклонов в ядре составляет порядка $1,38 \cdot 10^{44} \text{ м}^{-3}$.