Номер 3, страница 64 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Атомная и ядерная физика - номер 3, страница 64.

Условие.

3. Атом водорода в основном состоянии поглощает фотон, соответствующая длина волны которого составляет 121,5 нм. Определите радиус орбиты электрона возбуждённого атома водорода.

Решение.

Дано:

Атом водорода в основном состоянии, $n_1 = 1$.

Длина волны поглощенного фотона, $\lambda = 121,5$ нм.

Постоянная Ридберга, $R \approx 1,097 \cdot 10^7$ м⁻¹.
Радиус первой боровской орбиты (радиус Бора), $a_0 \approx 5,29 \cdot 10^{-11}$ м.

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 121,5 \text{ нм} = 121,5 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 1,215 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Радиус орбиты электрона в возбужденном состоянии, $r_{n_2}$.

Решение:

При поглощении фотона атом водорода переходит из основного состояния (с главным квантовым числом $n_1 = 1$) в возбужденное состояние (с главным квантовым числом $n_2$). Длина волны фотона, вызывающего такой переход, связана с квантовыми числами обобщенной формулой Бальмера (формулой Ридберга):

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$

где $R$ – постоянная Ридберга.

Подставим в формулу известные значения: $n_1 = 1$ (основное состояние) и $\lambda = 1,215 \cdot 10^{-7}$ м. Нам нужно найти $n_2$.

$\frac{1}{1,215 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = 1,097 \cdot 10^7 \text{ м⁻¹} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$

$8,23045 \cdot 10^6 \text{ м⁻¹} \approx 1,097 \cdot 10^7 \text{ м⁻¹} \left( 1 - \frac{1}{n_2^2} \right)$

Выразим скобку:

$1 - \frac{1}{n_2^2} = \frac{8,23045 \cdot 10^6}{1,097 \cdot 10^7} \approx 0,75$

Отсюда находим $\frac{1}{n_2^2}$:

$\frac{1}{n_2^2} = 1 - 0,75 = 0,25 = \frac{1}{4}$

$n_2^2 = 4$

Поскольку главное квантовое число $n_2$ должно быть целым и положительным, $n_2 = 2$.

Таким образом, электрон перешел на второй энергетический уровень.

Теперь найдем радиус орбиты электрона в этом возбужденном состоянии. Радиус $n$-й стационарной орбиты в атоме водорода по теории Бора вычисляется по формуле:

$r_n = a_0 \cdot n^2$

где $a_0$ – радиус Бора ($a_0 \approx 5,29 \cdot 10^{-11}$ м).

Для $n_2=2$ имеем:

$r_2 = a_0 \cdot 2^2 = 4 a_0$

$r_2 = 4 \cdot 5,29 \cdot 10^{-11} \text{ м} = 21,16 \cdot 10^{-11} \text{ м} = 2,116 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Округлив результат до трех значащих цифр, получим:

$r_2 \approx 2,12 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: $2,12 \cdot 10^{-10}$ м.