Номер 18, страница 63 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Оптика - номер 18, страница 63.

Условие.

18. На прозрачную плоскопараллельную пластину положили плоско-выпуклую линзу с радиусом кривизны 8 м. При освещении излучением, длина волны которого 536 нм, в отражённом свете наблюдаются кольца Ньютона. Чему равен радиус пятого тёмного кольца?

Решение.

Дано:

Радиус кривизны линзы, $R = 8$ м

Длина волны света, $\lambda = 536$ нм

Порядковый номер тёмного кольца, $k = 5$

Показатель преломления воздуха, $n \approx 1$

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 536 \times 10^{-9}$ м

Найти:

Радиус пятого тёмного кольца, $r_5$ - ?

Решение:

Кольца Ньютона — это интерференционная картина, которая возникает при отражении света от двух поверхностей: выпуклой поверхности линзы и плоской поверхности пластины. Между ними образуется воздушный зазор переменной толщины.

Тёмные кольца (интерференционные минимумы) в отражённом свете наблюдаются при условии, что оптическая разность хода $\Delta$ между лучами, отражёнными от этих двух поверхностей, равна целому числу длин волн. С учётом потери полуволны ($\lambda/2$) при отражении от оптически более плотной среды (от стеклянной пластины), условие для тёмных колец имеет вид:

$\Delta = 2d \cdot n + \frac{\lambda}{2} = (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Здесь $d$ — толщина воздушного зазора в месте расположения кольца, $n$ — показатель преломления среды в зазоре (для воздуха $n \approx 1$), $k$ — порядок минимума.

Подставив $n=1$ и упростив выражение, получим условие для тёмных колец:

$2d = k\lambda$

Толщину воздушного зазора $d$ на расстоянии $r_k$ (радиус кольца) от точки касания можно связать с радиусом кривизны линзы $R$. Из геометрии (рассматривая прямоугольный треугольник с катетами $r_k$ и $R-d$ и гипотенузой $R$) получаем:

$R^2 = (R-d)^2 + r_k^2$

$R^2 = R^2 - 2Rd + d^2 + r_k^2$

Поскольку толщина зазора $d$ очень мала по сравнению с радиусом кривизны $R$ ($d \ll R$), слагаемым $d^2$ можно пренебречь. Тогда:

$r_k^2 \approx 2Rd$

Отсюда $d \approx \frac{r_k^2}{2R}$.

Теперь подставим это выражение для $d$ в условие минимума:

$2 \cdot \frac{r_k^2}{2R} = k\lambda$

$\frac{r_k^2}{R} = k\lambda$

Выразим радиус $k$-го тёмного кольца:

$r_k = \sqrt{k \lambda R}$

Центральное тёмное пятно соответствует $k=0$. Пятое тёмное кольцо, наблюдаемое после центрального пятна, соответствует $k=5$.

Вычислим радиус пятого тёмного кольца ($r_5$):

$r_5 = \sqrt{5 \cdot (536 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \cdot 8 \text{ м}}$

$r_5 = \sqrt{40 \cdot 536 \cdot 10^{-9}} \text{ м} = \sqrt{21440 \cdot 10^{-9}} \text{ м}$

$r_5 = \sqrt{2.144 \cdot 10^{-5}} \text{ м} = \sqrt{21.44 \cdot 10^{-6}} \text{ м}$

$r_5 \approx 4.6303 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переводя в миллиметры, получаем:

$r_5 \approx 4.63 \text{ мм}$

Ответ: радиус пятого тёмного кольца равен приблизительно $4.63$ мм.