Номер 12, страница 63 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Оптика. Задачи для повторения - номер 12, страница 63.

Условие.

12. Постоянная дифракционной решётки составляет 0,01 мм. Расстояние от решётки до экрана 2 м. Определите ширину дифракционного спектра первого порядка. Длина волны красного света 760 нм, фиолетового — 400 нм.

Решение.

Дано:

Постоянная дифракционной решётки: $d = 0,01 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}$
Расстояние от решётки до экрана: $L = 2 \text{ м}$
Порядок спектра: $k = 1$
Длина волны красного света: $\lambda_к = 760 \text{ нм} = 7,6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
Длина волны фиолетового света: $\lambda_ф = 400 \text{ нм} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Ширину дифракционного спектра первого порядка: $\Delta x$.

Решение:

Условие максимумов дифракционной решётки определяется формулой:$d \sin\varphi = k \lambda$где $d$ — постоянная решётки, $\varphi$ — угол дифракции, $k$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

Положение максимума на экране $x$ связано с расстоянием до экрана $L$ и углом дифракции $\varphi$ соотношением:$\tan\varphi = \frac{x}{L}$

Так как углы дифракции для видимого света малы, можно принять, что $\sin\varphi \approx \tan\varphi$.Тогда:$\sin\varphi \approx \frac{x}{L}$

Подставим это приближение в формулу дифракционной решётки:$d \frac{x}{L} = k \lambda$

Отсюда можем выразить положение максимума на экране:$x = \frac{k \lambda L}{d}$

Ширина спектра первого порядка $\Delta x$ равна разности положений максимумов для красного и фиолетового света:$\Delta x = x_к - x_ф$

Подставим выражения для $x_к$ и $x_ф$:$\Delta x = \frac{k \lambda_к L}{d} - \frac{k \lambda_ф L}{d} = \frac{k L}{d} (\lambda_к - \lambda_ф)$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:$\Delta x = \frac{1 \cdot 2 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-5} \text{ м}} (7,6 \cdot 10^{-7} \text{ м} - 4 \cdot 10^{-7} \text{ м})$$\Delta x = 2 \cdot 10^5 \cdot (3,6 \cdot 10^{-7}) \text{ м} = 7,2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,072 \text{ м}$

Ширину спектра можно также выразить в сантиметрах: $0,072 \text{ м} = 7,2 \text{ см}$.

Ответ: ширина дифракционного спектра первого порядка составляет $0,072$ м (или $7,2$ см).