Номер 6, страница 62 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Оптика. Задачи для повторения - номер 6, страница 62.

Условие.

6. Кубик с ребром 2 см находится перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 см таким образом, что центр кубика расположен на главной оптической оси на расстоянии 15 см от центра линзы. Во сколько раз площадь изображения ближней к линзе грани кубика больше площади изображения дальней грани?

Решение.

Дано:

Ребро кубика, $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Фокусное расстояние линзы, $F = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Расстояние от центра линзы до центра кубика, $d_c = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

$\frac{S_{ближн}}{S_{дальн}}$

Решение:

Кубик расположен на главной оптической оси, поэтому его грани, перпендикулярные оси, будут давать изображения в виде квадратов. Найдем расстояние от линзы до ближней и дальней граней кубика.

Расстояние до ближней грани:

$d_{ближн} = d_c - \frac{a}{2} = 15 \text{ см} - \frac{2 \text{ см}}{2} = 14 \text{ см}$

Расстояние до дальней грани:

$d_{дальн} = d_c + \frac{a}{2} = 15 \text{ см} + \frac{2 \text{ см}}{2} = 16 \text{ см}$

Для нахождения размеров изображений воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Отношение площади изображения $S'$ к площади предмета $S$ равно квадрату поперечного увеличения $\Gamma$:

$\frac{S'}{S} = \Gamma^2$

Поперечное увеличение равно $\Gamma = |\frac{f}{d}|$. Выразим $f$ из формулы линзы:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{Fd}$

$f = \frac{Fd}{d-F}$

Тогда увеличение $\Gamma = |\frac{Fd}{d(d-F)}| = |\frac{F}{d-F}|$. Так как в нашем случае $d > F$, то изображение будет действительным, и модуль можно опустить.

Найдем увеличение для ближней грани ($d_{ближн} = 14 \text{ см}$):

$\Gamma_{ближн} = \frac{F}{d_{ближн}-F} = \frac{10}{14-10} = \frac{10}{4} = 2.5$

Найдем увеличение для дальней грани ($d_{дальн} = 16 \text{ см}$):

$\Gamma_{дальн} = \frac{F}{d_{дальн}-F} = \frac{10}{16-10} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Площадь изображения ближней грани $S_{ближн} = \Gamma_{ближн}^2 \cdot S_{грань}$, а площадь изображения дальней грани $S_{дальн} = \Gamma_{дальн}^2 \cdot S_{грань}$, где $S_{грань}$ - площадь реальной грани кубика.

Искомое отношение площадей:

$\frac{S_{ближн}}{S_{дальн}} = \frac{\Gamma_{ближн}^2 \cdot S_{грань}}{\Gamma_{дальн}^2 \cdot S_{грань}} = (\frac{\Gamma_{ближн}}{\Gamma_{дальн}})^2$

Подставим найденные значения увеличений:

$\frac{S_{ближн}}{S_{дальн}} = (\frac{2.5}{5/3})^2 = (\frac{5/2}{5/3})^2 = (\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$

Ответ: площадь изображения ближней к линзе грани кубика больше площади изображения дальней грани в 2.25 раза.