Номер 7, страница 62 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Оптика - номер 7, страница 62.

Условие.

7. Материальная точка движется перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы со скоростью 1 м/с. Фокусное расстояние линзы 0,2 м. Вектор скорости точки пересекает главную оптическую ось на расстоянии 0,6 м от линзы. С какой скоростью движется изображение точки?

Решение.

Дано:

Скорость материальной точки, $v = 1$ м/с.

Фокусное расстояние собирающей линзы, $F = 0,2$ м.

Расстояние от линзы до предмета (точки), $d = 0,6$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость изображения точки, $v_{из}$ - ?

Решение:

Поскольку материальная точка движется перпендикулярно главной оптической оси, ее расстояние $d$ до линзы остается постоянным. Следовательно, расстояние $f$ от линзы до изображения точки также будет постоянным.

Для нахождения скорости изображения воспользуемся формулой поперечного увеличения линзы $\Gamma$. Отношение высоты изображения $H$ к высоте предмета $h$ равно:

$\Gamma = \frac{H}{h} = -\frac{f}{d}$

Отсюда $H = -\frac{f}{d}h$.

Скорость движения предмета $v$ и его изображения $v_{из}$ в направлении, перпендикулярном главной оптической оси, являются производными их высот (координат) по времени: $v = \frac{dh}{dt}$ и $v_{из} = \frac{dH}{dt}$.

Продифференцируем выражение для высоты изображения по времени, учитывая, что $f$ и $d$ — константы:

$v_{из} = \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}(-\frac{f}{d}h) = -\frac{f}{d} \frac{dh}{dt} = -\frac{f}{d}v$

Знак "минус" указывает на то, что изображение будет двигаться в противоположную сторону (если предмет движется вверх, то действительное изображение — вниз). Нас интересует модуль скорости.

$|v_{из}| = \frac{f}{d}|v|$

Чтобы найти скорость изображения, сначала необходимо вычислить расстояние $f$ от линзы до изображения. Для этого используем формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Выразим из этой формулы $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{F \cdot d}$

$f = \frac{F \cdot d}{d - F}$

Подставим числовые значения:

$f = \frac{0,2 \cdot 0,6}{0,6 - 0,2} = \frac{0,12}{0,4} = 0,3$ м.

Теперь мы можем рассчитать скорость изображения:

$v_{из} = \frac{f}{d} \cdot v = \frac{0,3 \text{ м}}{0,6 \text{ м}} \cdot 1 \text{ м/с} = 0,5$ м/с.

Ответ: 0,5 м/с.