Номер 11, страница 62 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Оптика - номер 11, страница 62.

Условие.

11. Для измерения длины волны монохроматического светового луча используют дифракционную решётку с периодом 0,01 мм. Первый дифракционный максимум оказался на расстоянии 12 см от центрального. Определите расстояние до экрана, если длина волны оказалась равной 600 нм.

Решение.

Дано:

Период дифракционной решётки $d = 0,01 \text{ мм}$
Порядок дифракционного максимума $k = 1$
Расстояние на экране от центрального до первого максимума $x = 12 \text{ см}$
Длина волны света $\lambda = 600 \text{ нм}$

Перевод в систему СИ:
$d = 0,01 \text{ мм} = 0,01 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-5} \text{ м}$
$x = 12 \text{ см} = 12 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,12 \text{ м}$
$\lambda = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Расстояние до экрана $L$

Решение:

Условие наблюдения дифракционных максимумов при прохождении света через решётку описывается формулой:

$d \sin(\varphi_k) = k \lambda$

где $d$ — период решётки, $\varphi_k$ — угол дифракции для максимума $k$-го порядка, $k$ — целое число, называемое порядком максимума, $\lambda$ — длина волны света. В условии задачи речь идет о первом максимуме, следовательно, $k=1$.

Таким образом, для первого максимума формула примет вид:

$d \sin(\varphi_1) = \lambda$

Из этой формулы можно выразить синус угла дифракции: $\sin(\varphi_1) = \frac{\lambda}{d}$.

С другой стороны, из геометрических соображений (рассматривая прямоугольный треугольник, образованный направлением на центральный максимум, направлением на первый максимум и отрезком на экране) тангенс угла дифракции $\varphi_1$ можно выразить через расстояние до экрана $L$ и смещение максимума от центра $x$:

$\tan(\varphi_1) = \frac{x}{L}$

В большинстве экспериментов с дифракционными решётками углы дифракции малы. Для малых углов справедливо приближение $\sin(\varphi) \approx \tan(\varphi)$. Проверим, выполняется ли это условие в нашей задаче, вычислив значение синуса угла:

$\sin(\varphi_1) = \frac{6 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{10^{-5} \text{ м}} = 0,06$

Значение синуса мало ($0,06 \ll 1$), что подтверждает малость угла и позволяет использовать указанное приближение.

Приравнивая выражения для синуса и тангенса, получаем:

$\frac{\lambda}{d} \approx \frac{x}{L}$

Из этого соотношения выражаем искомое расстояние до экрана $L$:

$L \approx \frac{x \cdot d}{\lambda}$

Подставим числовые значения величин в систему СИ и произведем вычисления:

$L \approx \frac{0,12 \text{ м} \cdot 10^{-5} \text{ м}}{6 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = \frac{1,2 \cdot 10^{-6}}{6 \cdot 10^{-7}} \text{ м} = 0,2 \cdot 10^{1} \text{ м} = 2 \text{ м}$

Ответ: расстояние до экрана равно 2 м.