Номер 4, страница 62 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Оптика - номер 4, страница 62.

Условие.

4. Точечный источник света движется по окружности со скоростью 3 см/с. Плоскость окружности расположена перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии $1,5F$ от линзы ($F$ — фокусное расстояние). Определите скорость движения изображения источника света.

Решение.

Дано:

Скорость источника света, $v = 3 \text{ см/с}$

Расстояние от линзы до плоскости движения источника, $d = 1.5F$

где $F$ - фокусное расстояние линзы.

Перевод в систему СИ:

$v = 3 \frac{\text{см}}{\text{с}} = 0.03 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Скорость движения изображения, $v'$

Решение:

Точечный источник света движется в плоскости, которая перпендикулярна главной оптической оси. Это значит, что расстояние от источника до линзы $d$ постоянно. Его изображение также будет двигаться в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси, на некотором расстоянии $f$ от линзы.

Найдем расстояние от линзы до изображения $f$, используя формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Подставим в формулу заданное расстояние до источника $d = 1.5F$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{1.5F} + \frac{1}{f}$

Выразим из этого уравнения $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{1.5F} = \frac{1}{F} - \frac{2}{3F} = \frac{3 - 2}{3F} = \frac{1}{3F}$

Отсюда следует, что расстояние от линзы до изображения равно:

$f = 3F$

Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от линзы до предмета:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Подставим известные значения $f$ и $d$:

$\Gamma = \frac{3F}{1.5F} = 2$

Поскольку источник и его изображение описывают окружности за одинаковое время (период обращения $T$), отношение их линейных скоростей равно отношению радиусов их траекторий, что, в свою очередь, равно поперечному увеличению линзы.

Пусть $R_{об}$ - радиус окружности, по которой движется источник, а $R_{из}$ - радиус окружности, по которой движется изображение. Тогда:

$v = \frac{2\pi R_{об}}{T}$

$v' = \frac{2\pi R_{из}}{T}$

Разделив второе уравнение на первое, получим:

$\frac{v'}{v} = \frac{R_{из}}{R_{об}}$

Отношение радиусов как раз и является поперечным увеличением $\Gamma$:

$\frac{v'}{v} = \Gamma$

Следовательно, скорость изображения $v'$ можно найти как:

$v' = v \cdot \Gamma$

Подставим числовые значения:

$v' = 3 \text{ см/с} \cdot 2 = 6 \text{ см/с}$

Ответ: $6 \text{ см/с}$.