Номер 10, страница 62 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Оптика - номер 10, страница 62.

Условие.

10. В фокальной плоскости тонкой собирающей линзы находится экран, расположенный перпендикулярно главной оптической оси. С другой стороны от линзы из точки фокуса начинает удаляться точечный источник света с ускорением $1 \text{ м/с}^2$. Через какое время светлое пятно на экране уменьшится в 1,8 раза?

Решение.

Дано:

Линза – тонкая, собирающая.

Экран находится в фокальной плоскости.

Начальное положение источника – в фокусе с другой стороны линзы.

Ускорение источника света, $a = 1 \text{ м/с}^2$.

Начальная скорость источника, $v_0 = 0$.

Коэффициент уменьшения размера пятна, $k = 1.8$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Время $t$, через которое размер пятна уменьшится в $k$ раз.

Решение:

Обозначим фокусное расстояние линзы как $F$, а радиус самой линзы (ее апертуру) как $R$.

В начальный момент времени ($t=0$) точечный источник света находится в фокусе линзы. Лучи от источника, пройдя через линзу, выходят параллельным пучком, параллельно главной оптической оси. На экране, расположенном в другой фокальной плоскости, они создают светлое пятно, радиус которого равен радиусу линзы: $r_0 = R$.

Источник света начинает удаляться от линзы с постоянным ускорением $a$. Расстояние $s$, на которое он сместится от фокуса за время $t$, определяется формулой равноускоренного движения без начальной скорости:

$s = \frac{at^2}{2}$

В момент времени $t$ расстояние от источника до линзы (расстояние до предмета) станет равным:

$d = F + s = F + \frac{at^2}{2}$

Для нахождения расстояния от линзы до изображения $f'$ воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Выразим $1/f'$:

$\frac{1}{f'} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF}$

Подставим выражение $d=F+s$:

$\frac{1}{f'} = \frac{(F+s) - F}{(F+s)F} = \frac{s}{(F+s)F}$

Отсюда находим расстояние до изображения:

$f' = \frac{F(F+s)}{s}$

Изображение источника является действительным и формируется на расстоянии $f'$ от линзы. Экран же находится на расстоянии $F$ от линзы. Лучи света, прошедшие через линзу, сходятся в точке изображения за экраном, образуя на самом экране светлое пятно радиусом $r$.

Для определения радиуса пятна $r$ на экране воспользуемся методом подобных треугольников. Рассмотрим луч, идущий от источника через край линзы (на расстоянии $R$ от оптической оси). Этот луч после преломления пересечет главную оптическую ось в точке изображения на расстоянии $f'$ от линзы. На своем пути он пересечет плоскость экрана на расстоянии $r$ от оси. Треугольник с катетами $R$ и $f'$ подобен треугольнику с катетами $r$ и $(f' - F)$.

Из подобия треугольников имеем соотношение:

$\frac{r}{R} = \frac{f' - F}{f'}$

Зная, что $f' = \frac{F(F+s)}{s}$, найдем разность $f' - F$:

$f' - F = \frac{F(F+s)}{s} - F = \frac{F^2 + Fs - Fs}{s} = \frac{F^2}{s}$

Подставим это в соотношение подобия:

$\frac{r}{R} = \frac{F^2/s}{F(F+s)/s} = \frac{F^2}{F(F+s)} = \frac{F}{F+s}$

Отсюда радиус пятна в момент времени $t$ равен:

$r(t) = R \cdot \frac{F}{F+s}$

Согласно условию задачи, размер (радиус) пятна уменьшился в $k=1.8$ раза по сравнению с начальным размером $r_0=R$.

$k = \frac{r_0}{r(t)} = \frac{R}{R \cdot \frac{F}{F+s}} = \frac{F+s}{F}$

Из этого уравнения выразим смещение $s$:

$k = 1 + \frac{s}{F} \implies s = (k-1)F$

Теперь приравняем два полученных выражения для $s$:

$\frac{at^2}{2} = (k-1)F$

И наконец, выразим искомое время $t$:

$t^2 = \frac{2F(k-1)}{a}$

$t = \sqrt{\frac{2F(k-1)}{a}}$

В тексте задачи отсутствует численное значение фокусного расстояния линзы $F$. Без этого параметра дать численный ответ невозможно. Однако, в учебных задачах такого типа часто подразумеваются стандартные значения. Предположим, что фокусное расстояние линзы составляет $F = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Подставив все известные значения в итоговую формулу, получим:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.1 \text{ м} \cdot (1.8 - 1)}{1 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.1 \cdot 0.8}{1}} \text{ с} = \sqrt{0.16} \text{ с} = 0.4 \text{ с}$

Ответ: $0.4$ с (при допущении, что фокусное расстояние линзы $F=10$ см).