Номер 9, страница 62 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Оптика. Задачи для повторения - номер 9, страница 62.

Условие.

9. Собирающая тонкая линза характеризуется оптической силой $D_1$, рассеивающая линза характеризуется оптической силой $D_2$, причём $D_1 - |D_2| = 4$ дптр. При каком расстоянии от линзы до предмета каждая из линз будет давать изображение одного и того же размера?

Решение.

Дано:

Собирающая линза с оптической силой $D_1$.
Рассеивающая линза с оптической силой $D_2$.
$D_1 - |D_2| = 4$ дптр.
Размеры изображений, создаваемых линзами, равны, при одинаковом расстоянии $d$ до предмета.

Найти:

$d$ - расстояние от линзы до предмета.

Решение:

Линейное увеличение $\Gamma$, даваемое тонкой линзой, определяется формулой:$$ \Gamma = \frac{H'}{H} = \left|\frac{f}{d}\right| $$где $H$ – размер предмета, $H'$ – размер изображения, $d$ – расстояние от линзы до предмета, $f$ – расстояние от линзы до изображения.

По условию задачи, размеры изображений, создаваемых собирающей ($H'_1$) и рассеивающей ($H'_2$) линзами, одинаковы ($H'_1 = H'_2$). Так как предмет один и тот же ($H$) и расстояние до него одинаково ($d$), то и увеличения, даваемые линзами, должны быть равны: $\Gamma_1 = \Gamma_2$.$$ \left|\frac{f_1}{d}\right| = \left|\frac{f_2}{d}\right| $$Отсюда следует, что абсолютные значения расстояний от линз до изображений равны:$$ |f_1| = |f_2| $$

Запишем формулу тонкой линзы для каждой из линз:$$ D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $$Для собирающей линзы ($D_1$):$$ D_1 = \frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} \implies \frac{1}{f_1} = D_1 - \frac{1}{d} = \frac{D_1d - 1}{d} \implies f_1 = \frac{d}{D_1d - 1} $$Для рассеивающей линзы ($D_2$):$$ D_2 = \frac{1}{d} + \frac{1}{f_2} \implies \frac{1}{f_2} = D_2 - \frac{1}{d} = \frac{D_2d - 1}{d} \implies f_2 = \frac{d}{D_2d - 1} $$

Подставим выражения для $f_1$ и $f_2$ в условие $|f_1| = |f_2|$:$$ \left|\frac{d}{D_1d - 1}\right| = \left|\frac{d}{D_2d - 1}\right| $$Поскольку расстояние до предмета $d \neq 0$, это эквивалентно:$$ |D_1d - 1| = |D_2d - 1| $$

Раскроем модули, учитывая знаки оптических сил. Для собирающей линзы оптическая сила положительна: $D_1 > 0$. Для рассеивающей линзы оптическая сила отрицательна: $D_2 < 0$.Так как $D_2 < 0$ и $d > 0$ (предмет действительный), то произведение $D_2d < 0$, и выражение $D_2d - 1$ всегда отрицательно.Следовательно, $|D_2d - 1| = -(D_2d - 1) = 1 - D_2d$.Тогда уравнение принимает вид:$$ |D_1d - 1| = 1 - D_2d $$Раскрытие модуля в левой части уравнения дает два случая:
1) $D_1d - 1 = 1 - D_2d$
2) $D_1d - 1 = -(1 - D_2d) = D_2d - 1$

Рассмотрим второй случай:$$ D_1d - 1 = D_2d - 1 \implies D_1d = D_2d $$Так как $d \neq 0$, то $D_1 = D_2$. Это противоречит условию, что одна линза собирающая ($D_1 > 0$), а другая рассеивающая ($D_2 < 0$). Значит, этот случай не имеет физического смысла.

Рассмотрим первый случай:$$ D_1d - 1 = 1 - D_2d $$$$ D_1d + D_2d = 2 $$$$ d(D_1 + D_2) = 2 $$$$ d = \frac{2}{D_1 + D_2} $$

Теперь используем данное в условии соотношение: $D_1 - |D_2| = 4$ дптр.Поскольку $D_2 < 0$, то $|D_2| = -D_2$. Подставим это в соотношение:$$ D_1 - (-D_2) = 4 \implies D_1 + D_2 = 4 \text{ дптр} $$

Наконец, подставим найденное значение суммы оптических сил в формулу для $d$:$$ d = \frac{2}{4 \text{ дптр}} = 0.5 \text{ м} $$

Ответ: расстояние от линзы до предмета должно быть $0.5$ м.