Номер 5, страница 62 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Оптика - номер 5, страница 62.

Условие.

5. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием 1 м вставлена на в оправу радиусом 1 см. На экране, расположенном на расстоянии 3 м за линзой, получено изображение точечного источника света. Чему будет равен радиус светового круга, полученного на этом экране, после замены собирающей линзы на рассеивающую с тем же фокусным расстоянием?

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние собирающей линзы $F_1 = 1$ м
Радиус оправы линзы $R = 1$ см
Расстояние от линзы до экрана $L = 3$ м
Фокусное расстояние рассеивающей линзы $F_2 = -1$ м

Перевод в систему СИ:
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус светового круга на экране $r$ - ?

Решение:

Сначала определим положение точечного источника света. По условию, при использовании собирающей линзы на экране, расположенном на расстоянии $f = L = 3$ м, получается четкое изображение.

Используем формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F_1}$
где $d$ — расстояние от источника до линзы.

Подставив известные значения, найдем $d$:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{3} = \frac{1}{1}$
$\frac{1}{d} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$d = \frac{3}{2} = 1.5$ м.

Таким образом, точечный источник света находится на расстоянии 1.5 м от линзы.

Далее, собирающую линзу заменяют на рассеивающую с фокусным расстоянием $F_2 = -1$ м. Расстояние от источника до линзы $d=1.5$ м и расстояние от линзы до экрана $L=3$ м остаются теми же.

Найдем положение мнимого изображения, которое создает рассеивающая линза, по той же формуле тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F_2}$
где $f'$ — расстояние от линзы до мнимого изображения.
$\frac{1}{1.5} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{-1}$
$\frac{1}{f'} = -1 - \frac{1}{1.5} = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$
$f' = -0.6$ м.

Знак "минус" указывает на то, что изображение мнимое и находится по ту же сторону от линзы, что и источник, на расстоянии $|f'| = 0.6$ м.

Лучи света, пройдя через линзу, расходятся так, как будто они исходят из точки мнимого изображения. На экране образуется световой круг радиусом $r$. Для нахождения $r$ воспользуемся методом подобных треугольников.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника. Первый имеет катеты, равные расстоянию от мнимого изображения до линзы $|f'|$ и радиусу оправы линзы $R$. Второй треугольник имеет катеты, равные расстоянию от мнимого изображения до экрана $(|f'| + L)$ и искомому радиусу светового круга $r$.
Из подобия треугольников следует соотношение:
$\frac{r}{R} = \frac{|f'| + L}{|f'|}$

Подставим числовые значения и выразим $r$:
$\frac{r}{0.01} = \frac{0.6 + 3}{0.6} = \frac{3.6}{0.6} = 6$
$r = 6 \times 0.01 = 0.06$ м.

Ответ: 6 см.