Номер 20, страница 63 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Оптика - номер 20, страница 63.

Условие.

20. При наблюдении в отражённом свете колец Ньютона радиус третьего тёмного кольца равен 2,8 мм. Определите длину световой волны, используемой в опыте, если радиус кривизны линзы составляет 4 м.

Решение.

Дано:

Порядковый номер тёмного кольца, $k = 3$

Радиус третьего тёмного кольца, $r_k = 2,8 \text{ мм}$

Радиус кривизны линзы, $R = 4 \text{ м}$

$r_k = 2,8 \text{ мм} = 2,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Длину световой волны, $\lambda$

Решение:

Кольца Ньютона образуются в результате интерференции световых волн, отраженных от верхней поверхности плоскопараллельной пластинки и от нижней поверхности плоско-выпуклой линзы. При наблюдении интерференционной картины в отраженном свете условие образования тёмных колец (интерференционных минимумов) определяется формулой:

$2h + \frac{\lambda}{2} = (k + \frac{1}{2})\lambda$

где $h$ — толщина воздушного зазора, $\lambda$ — длина волны света, а $k$ — номер тёмного кольца ($k=1, 2, 3, \dots$). Слагаемое $\frac{\lambda}{2}$ в левой части учитывает потерю полуволны при отражении света от оптически более плотной среды (от поверхности стеклянной пластины). Упрощая выражение, получаем условие для тёмных колец:

$2h = k \lambda$

Толщину воздушного зазора $h$ можно связать с радиусом кольца $r_k$ и радиусом кривизны линзы $R$. Из геометрии следует, что для $h \ll R$ справедливо соотношение:

$r_k^2 \approx 2Rh$

Отсюда можно выразить $h$:

$h = \frac{r_k^2}{2R}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в условие для тёмных колец:

$2 \cdot \frac{r_k^2}{2R} = k \lambda$

$\frac{r_k^2}{R} = k \lambda$

Из этого соотношения выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{r_k^2}{kR}$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи:

$\lambda = \frac{(2,8 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{3 \cdot 4 \text{ м}} = \frac{7,84 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{12 \text{ м}} \approx 0,6533 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Результат удобно представить в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda \approx 653,3 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 653,3 \text{ нм}$

Ответ: длина световой волны равна $653,3 \text{ нм}$.