Страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Какие физические величины сохраняются при последовательном соединении проводников?

Какие физические величины сохраняются при последовательном соединении проводников?

При последовательном соединении проводники подключаются в электрическую цепь один за другим, без разветвлений. Это означает, что для электрического тока существует только один путь.

Согласно закону сохранения электрического заряда, заряд не может накапливаться или исчезать в точках соединения проводников. Следовательно, количество заряда, проходящее через любое поперечное сечение цепи за один и тот же промежуток времени, будет одинаковым.

Физическая величина, характеризующая скорость упорядоченного движения заряженных частиц, — это сила тока ($I$). Так как количество заряда, проходящее через каждый проводник в цепи за единицу времени, одинаково, то и сила тока во всех участках последовательной цепи будет одной и той же. Это можно записать в виде равенства:

$I = I_1 = I_2 = ... = I_n$

где $I$ — общая сила тока в цепи, а $I_1, I_2, ..., I_n$ — силы тока на отдельных последовательно соединенных проводниках.

Другие величины, такие как напряжение и сопротивление, при последовательном соединении не сохраняются. Общее напряжение на всем участке цепи равно сумме напряжений на каждом из проводников ($U = U_1 + U_2 + ...$), а общее сопротивление равно сумме сопротивлений каждого проводника ($R = R_1 + R_2 + ...$).

Таким образом, основной физической величиной, которая остается постоянной (сохраняется) для всех элементов при их последовательном соединении, является сила тока. Также можно сказать, что сохраняется и электрический заряд, проходящий через поперечное сечение каждого проводника за одинаковое время.

Ответ: При последовательном соединении проводников сохраняется (остается одинаковой для всех элементов) сила электрического тока.

2. Чему равно общее сопротивление при последовательном соединении проводников?

Решение

При последовательном соединении проводники включаются в электрическую цепь один за другим, без разветвлений. Это означает, что конец первого проводника соединяется с началом второго, конец второго — с началом третьего, и так далее.

Ключевые законы для последовательного соединения:

1. Сила тока $I$ одинакова на всех участках цепи, так как для тока существует только один путь:

$I_{общ} = I_1 = I_2 = ... = I_n$

2. Общее напряжение $U_{общ}$ на концах всей цепи равно сумме напряжений на каждом из последовательно соединенных проводников:

$U_{общ} = U_1 + U_2 + ... + U_n$

Для нахождения общего сопротивления $R_{общ}$ воспользуемся законом Ома для участка цепи, который гласит, что напряжение равно произведению силы тока на сопротивление ($U = I \cdot R$).

Применим закон Ома к каждому проводнику и ко всей цепи:

Напряжение на отдельных проводниках: $U_1 = I_1 \cdot R_1$, $U_2 = I_2 \cdot R_2$, ..., $U_n = I_n \cdot R_n$.

Общее напряжение на всей цепи: $U_{общ} = I_{общ} \cdot R_{общ}$.

Подставим эти выражения в формулу для общего напряжения, учитывая, что сила тока $I$ везде одинакова ($I_{общ} = I_1 = I_2 = ... = I_n = I$):

$I \cdot R_{общ} = (I \cdot R_1) + (I \cdot R_2) + ... + (I \cdot R_n)$

Вынесем общий множитель $I$ за скобки в правой части уравнения:

$I \cdot R_{общ} = I \cdot (R_1 + R_2 + ... + R_n)$

Поскольку сила тока в цепи не равна нулю, мы можем разделить обе части равенства на $I$:

$R_{общ} = R_1 + R_2 + ... + R_n$

Следовательно, общее сопротивление цепи при последовательном соединении проводников равно арифметической сумме сопротивлений всех этих проводников.

Ответ: Общее сопротивление при последовательном соединении проводников равно сумме сопротивлений каждого проводника. Оно вычисляется по формуле: $R_{общ} = R_1 + R_2 + ... + R_n$, где $R_1, R_2, ..., R_n$ — сопротивления отдельных проводников.

3. Какие физические величины сохраняются при параллельном соединении проводников?

Решение

При параллельном соединении все проводники (резисторы, лампы и другие элементы цепи) подключаются между двумя общими точками. Это означает, что их начала соединены в одной точке (узле), а концы — в другой.

Рассмотрим, какие из основных физических величин, характеризующих электрический ток, остаются неизменными для всех элементов в таком соединении.

1. Напряжение (U). Поскольку все проводники подключены к одним и тем же двум точкам цепи, разность потенциалов (напряжение) на каждом из них будет одинаковой и равной общему напряжению на этом участке. Это является фундаментальным свойством параллельного соединения.

   Формула для напряжений при параллельном соединении:

   $U_{общ} = U_1 = U_2 = ... = U_n$

   где $U_{общ}$ — общее напряжение, а $U_1, U_2, ..., U_n$ — напряжения на каждом из проводников.

2. Сила тока (I). Общий ток, поступающий в узел перед разветвлением, распределяется по параллельным ветвям. Согласно первому закону Кирхгофа, общий ток равен сумме токов в каждой ветви. Ток в отдельных ветвях, как правило, не одинаков и зависит от сопротивления каждой ветви (согласно закону Ома $I = U/R$).

   Формула для силы тока при параллельном соединении:

   $I_{общ} = I_1 + I_2 + ... + I_n$

   где $I_{общ}$ — общий ток, а $I_1, I_2, ..., I_n$ — токи в отдельных ветвях.

3. Сопротивление (R). Общее (эквивалентное) сопротивление цепи при параллельном соединении всегда меньше наименьшего из сопротивлений отдельных ветвей. Оно рассчитывается по формуле, где складываются величины, обратные сопротивлениям (проводимости).

   Формула для общего сопротивления при параллельном соединении:

   $\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$

Таким образом, единственная физическая величина из трёх основных (напряжение, сила тока, сопротивление), которая сохраняется, то есть остаётся одинаковой для всех параллельно соединённых проводников, — это напряжение.

Ответ: При параллельном соединении проводников сохраняется (является одинаковым для всех элементов) напряжение.

4. Как определить общее сопротивление при параллельном соединении проводников?

При параллельном соединении проводников их начала присоединяются к одной общей точке электрической цепи, а их концы — к другой. Это создает несколько параллельных путей (ветвей) для прохождения электрического тока. Главной особенностью такого соединения является то, что напряжение на всех параллельных ветвях одинаково, а общий ток разветвляется по этим ветвям.

Решение

Для вывода формулы общего сопротивления воспользуемся основными законами для параллельного соединения и законом Ома.

1. Согласно первому закону Кирхгофа, общая сила тока $I_{общ}$ в цепи до разветвления равна сумме сил токов в каждой из параллельных ветвей:

$I_{общ} = I_1 + I_2 + ... + I_n$

где $I_1, I_2, ..., I_n$ — токи в каждом из проводников.

2. Напряжение $U$ на концах всех параллельно соединенных проводников одинаково:

$U = U_1 = U_2 = ... = U_n$

3. По закону Ома для участка цепи, ток в каждом проводнике и общий ток в цепи можно выразить как:

$I_1 = \frac{U}{R_1}$, $I_2 = \frac{U}{R_2}$, ..., $I_n = \frac{U}{R_n}$

$I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}}$

где $R_1, R_2, ..., R_n$ — сопротивления отдельных проводников, а $R_{общ}$ — общее (эквивалентное) сопротивление цепи.

4. Подставим выражения для токов в первое уравнение:

$\frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + ... + \frac{U}{R_n}$

5. Так как напряжение $U$ одинаково для всех элементов и не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $U$. В результате получаем формулу для расчета общего сопротивления при параллельном соединении:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$

Эта формула показывает, что величина, обратная общему сопротивлению (которую называют общей проводимостью), равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого из проводников (сумме их проводимостей).

Частные случаи, упрощающие расчеты:

• Для двух параллельных проводников: формула преобразуется к виду: $R_{общ} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$. Общее сопротивление равно произведению сопротивлений, деленному на их сумму.
• Для $n$ одинаковых проводников с сопротивлением $R$ каждый: общее сопротивление равно $R_{общ} = \frac{R}{n}$. Сопротивление уменьшается в $n$ раз.

Важный вывод: общее сопротивление участка цепи при параллельном соединении проводников всегда меньше самого малого из сопротивлений, входящих в этот участок.

Ответ: Общее сопротивление при параллельном соединении проводников определяется по формуле, согласно которой величина, обратная общему сопротивлению $R_{общ}$, равна сумме обратных величин сопротивлений каждого из проводников ($R_1, R_2, ..., R_n$): $\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$.

5. Какую гидродинамическую аналогию можно использовать для моделирования последовательного и параллельного соединений проводников?

Решение

Для моделирования электрических цепей используется гидродинамическая аналогия, где физические величины, описывающие электрический ток, сопоставляются с величинами, описывающими течение жидкости по трубам. Основные соответствия в этой аналогии:

• Сила тока ($I$), представляющая собой направленное движение зарядов, аналогична объемному расходу жидкости ($Q$) — объему воды, протекающей через сечение трубы за единицу времени.
• Электрическое напряжение ($U$), или разность потенциалов, которое является причиной движения зарядов, аналогично разности давлений ($\Delta p$) между двумя точками трубопровода, которая заставляет жидкость течь.
• Электрическое сопротивление ($R$), характеризующее противодействие проводника току, аналогично гидродинамическому сопротивлению ($R_h$), которое труба (из-за своей узости, длины, шероховатости) оказывает потоку жидкости.

На основе этой аналогии можно смоделировать различные типы соединений.

Последовательное соединение

В электрической цепи при последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных проводников ($R_{общ} = R_1 + R_2 + ...$), а сила тока через каждый проводник одинакова.

Гидродинамической аналогией является система из нескольких труб, соединенных одна за другой. Чтобы пройти через такую систему, вода должна последовательно преодолеть каждую трубу. При этом:

• Расход воды (аналог тока) во всех участках трубы будет одинаковым.
• Общее гидравлическое сопротивление системы будет равно сумме сопротивлений каждой отдельной трубы. Узкие или длинные участки будут вносить больший вклад в общее сопротивление.
• Общий перепад давления, необходимый для поддержания потока, будет равен сумме перепадов давления на каждом из последовательно соединенных участков.

Ответ: Последовательное соединение проводников моделируется системой труб, соединенных друг за другом в одну общую магистраль.

Параллельное соединение

При параллельном соединении напряжение на всех ветвях цепи одинаково, а общий ток равен сумме токов в каждой ветви ($I_{общ} = I_1 + I_2 + ...$). Общее сопротивление уменьшается, так как появляются дополнительные пути для тока ($1/R_{общ} = 1/R_1 + 1/R_2 + ...$).

Гидродинамической аналогией является разветвление основной трубы на несколько параллельных потоков, которые затем снова сливаются в один. При этом:

• Перепад давления (аналог напряжения) между точкой разветвления и точкой слияния будет одинаковым для всех параллельных труб.
• Общий поток воды (аналог общего тока) разделится между ветвями. Причем через трубу с меньшим гидравлическим сопротивлением (например, более широкую) потечет больше воды. Общий расход будет равен сумме расходов в каждой ветви.
• Общее гидравлическое сопротивление системы будет меньше сопротивления любой из параллельных труб, так как для потока создаются обходные пути.

Ответ: Параллельное соединение проводников моделируется разветвлением трубопровода на несколько параллельных каналов (труб), которые затем снова объединяются.

ЗАДАЧИ

1. Найдите сопротивление $R_{ab}$, если $R_1 = 12$ Ом, $R_2 = 20$ Ом, $R_3 = 30$ Ом (рис. 22).

Дано:

$R_1 = 12$ Ом

$R_2 = 20$ Ом

$R_3 = 30$ Ом

Найти:

$R_{ab}$ - ?

Решение:

Электрическая цепь, показанная на рисунке 22, представляет собой смешанное соединение резисторов. Резисторы $R_2$ и $R_3$ соединены параллельно друг другу. Этот параллельный участок соединен последовательно с резистором $R_1$.

Для нахождения общего сопротивления $R_{ab}$ необходимо сначала рассчитать эквивалентное сопротивление параллельного участка, состоящего из резисторов $R_2$ и $R_3$. Обозначим это сопротивление как $R_{23}$.

Формула для расчета сопротивления двух параллельно соединенных резисторов:

$R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$

Подставим числовые значения сопротивлений $R_2$ и $R_3$:

$R_{23} = \frac{20 \text{ Ом} \cdot 30 \text{ Ом}}{20 \text{ Ом} + 30 \text{ Ом}} = \frac{600 \text{ Ом}^2}{50 \text{ Ом}} = 12 \text{ Ом}$

Теперь общее сопротивление цепи $R_{ab}$ можно найти как сумму сопротивлений последовательно соединенных резистора $R_1$ и участка с эквивалентным сопротивлением $R_{23}$.

Формула для расчета сопротивления последовательно соединенных резисторов:

$R_{ab} = R_1 + R_{23}$

Подставим значения $R_1$ и вычисленное значение $R_{23}$:

$R_{ab} = 12 \text{ Ом} + 12 \text{ Ом} = 24 \text{ Ом}$

Ответ: общее сопротивление цепи $R_{ab}$ равно 24 Ом.