Номер 15, страница 29, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*15. Заряженный конденсатор емкостью $C = 0,5 \text{ мкФ}$ подключили к катушке индуктивностью $L = 5,0 \text{ мГн}$. Через какое время с момента подключения катушки энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки?

Ответ: $3,9 \cdot 10^{-3} \text{ с.}$

Дано:

Емкость конденсатора $C = 0,5 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки $L = 5,0 \text{ мГн}$

Переведем значения в систему СИ:

$C = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$L = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Найти:

Время $\text{t}$

Решение:

Заряженный конденсатор и катушка индуктивности образуют идеальный колебательный контур (LC-контур), в котором происходят свободные электромагнитные колебания. Полная энергия контура сохраняется и в любой момент времени равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_E$ и энергии магнитного поля катушки $W_M$.

$W_{полн} = W_E + W_M = \text{const}$

Энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля катушки определяются формулами:

$W_E = \frac{q^2}{2C}$

$W_M = \frac{Li^2}{2}$

В начальный момент времени ($t=0$) конденсатор полностью заряжен, а ток в катушке равен нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе и является максимальной энергией электрического поля:

$W_{полн} = W_{E, max} = \frac{Q_{max}^2}{2C}$

Согласно условию задачи, нам нужно найти время $\text{t}$, через которое энергия электрического поля станет равной энергии магнитного поля:

$W_E(t) = W_M(t)$

Подставим это условие в закон сохранения энергии:

$W_{полн} = W_E(t) + W_E(t) = 2W_E(t)$

Отсюда следует, что в искомый момент времени энергия электрического поля будет равна половине полной (максимальной) энергии:

$W_E(t) = \frac{W_{полн}}{2} = \frac{W_{E, max}}{2}$

Заряд на конденсаторе в колебательном контуре изменяется по гармоническому закону. Так как в начальный момент времени заряд максимален, закон изменения заряда имеет вид:

$q(t) = Q_{max} \cos(\omega t)$

где $\omega$ - циклическая частота колебаний. Тогда энергия электрического поля как функция времени:

$W_E(t) = \frac{q(t)^2}{2C} = \frac{(Q_{max} \cos(\omega t))^2}{2C} = \frac{Q_{max}^2}{2C} \cos^2(\omega t) = W_{E, max} \cos^2(\omega t)$

Приравниваем это выражение к $\frac{W_{E, max}}{2}$:

$W_{E, max} \cos^2(\omega t) = \frac{W_{E, max}}{2}$

$\cos^2(\omega t) = \frac{1}{2}$

$\cos(\omega t) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Искомое время $\text{t}$ — это первое положительное решение этого уравнения. Наименьший положительный угол, для которого выполняется это условие, это $\frac{\pi}{4}$.

$\omega t = \frac{\pi}{4}$

$t = \frac{\pi}{4\omega}$

Циклическая частота $\omega$ в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим выражение для $\omega$ в формулу для $\text{t}$:

$t = \frac{\pi}{4} \sqrt{LC}$

Также можно выразить $\text{t}$ через период колебаний $T = 2\pi\sqrt{LC}$. В этом случае $t = \frac{T}{8}$.

Теперь вычислим искомое время, подставив данные задачи:

$t = \frac{\pi}{4} \sqrt{5,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{\pi}{4} \sqrt{2,5 \cdot 10^{-9} \text{ с}^2}$

$t = \frac{\pi}{4} \sqrt{25 \cdot 10^{-10} \text{ с}^2} = \frac{\pi}{4} \cdot 5 \cdot 10^{-5} \text{ с} = \frac{5\pi}{4} \cdot 10^{-5} \text{ с}$

Подставляя значение $\pi \approx 3,14159$, получаем:

$t \approx \frac{5 \cdot 3,14159}{4} \cdot 10^{-5} \text{ с} \approx 3,927 \cdot 10^{-5} \text{ с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$t \approx 3,9 \cdot 10^{-5} \text{ с}$

Ответ: $t \approx 3,9 \cdot 10^{-5} \text{ с}$.