Номер 14, страница 29, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*14. Три одинаково заряженных конденсатора емкостью $\text{C}$ каждый соединяют в батарею и подключают к катушке индуктивностью $\text{L}$. Во сколько раз будут отличаться периоды свободных колебаний контура, если один раз конденсаторы соединить параллельно, второй раз — последовательно? Сопротивлением контура $\text{R}$ пренебречь.

Ответ: в 3 раза.

Дано:

Количество одинаковых конденсаторов, $n = 3$

Емкость каждого конденсатора, $\text{C}$

Индуктивность катушки, $\text{L}$

Сопротивление контура, $R \approx 0$

Найти:

Отношение периодов свободных колебаний контура при параллельном и последовательном соединении конденсаторов, $\frac{T_{паралл}}{T_{последов}}$

Решение:

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC_{общ}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $C_{общ}$ — общая (эквивалентная) емкость батареи конденсаторов. Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

Конденсаторы соединить параллельно

При параллельном соединении трех одинаковых конденсаторов их общая емкость $C_{паралл}$ равна сумме их емкостей:

$C_{паралл} = C + C + C = 3C$

Тогда период колебаний для этого случая $T_{паралл}$ будет равен:

$T_{паралл} = 2\pi\sqrt{LC_{паралл}} = 2\pi\sqrt{L(3C)}$

Конденсаторы соединить последовательно

При последовательном соединении трех одинаковых конденсаторов величина, обратная общей емкости $C_{последов}$, равна сумме величин, обратных емкостям каждого конденсатора:

$\frac{1}{C_{последов}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$

Отсюда находим общую емкость для последовательного соединения:

$C_{последов} = \frac{C}{3}$

Период колебаний для этого случая $T_{последов}$ будет равен:

$T_{последов} = 2\pi\sqrt{LC_{последов}} = 2\pi\sqrt{L\frac{C}{3}}$

Теперь найдем, во сколько раз отличаются периоды. Для этого разделим больший период на меньший:

$\frac{T_{паралл}}{T_{последов}} = \frac{2\pi\sqrt{3LC}}{2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}} = \sqrt{\frac{3LC}{\frac{LC}{3}}} = \sqrt{3LC \cdot \frac{3}{LC}} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, период колебаний при параллельном соединении конденсаторов в 3 раза больше, чем при последовательном.

Ответ: периоды свободных колебаний контура будут отличаться в 3 раза.