Номер 13, страница 29, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

13. В идеальном колебательном контуре с частотой собственных колебаний $V_1 = 20 \text{ кГц}$ при замене конденсатора на другой частота стала равна $V_2 = 30 \text{ кГц}$. Какой будет частота собственных колебаний контура, если соединить эти два конденсатора параллельно?

Ответ: 16,6 кГц.

Дано:

Частота с первым конденсатором, $\nu_1 = 20$ кГц

Частота со вторым конденсатором, $\nu_2 = 30$ кГц

$\nu_1 = 20 \cdot 10^3$ Гц

$\nu_2 = 30 \cdot 10^3$ Гц

Найти:

Частоту колебаний с параллельно соединенными конденсаторами, $\nu_3$ - ?

Решение:

Частота собственных колебаний в идеальном LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – ёмкость конденсатора.

Для первого случая, когда в контуре используется первый конденсатор с ёмкостью $C_1$, частота равна $\nu_1$:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

Для второго случая, при замене конденсатора на второй с ёмкостью $C_2$, частота стала равной $\nu_2$:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Из этих формул можно выразить $C_1$ и $C_2$ через соответствующие частоты и индуктивность. Возведем обе части уравнений в квадрат:

$\nu_1^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC_1} \implies C_1 = \frac{1}{4\pi^2 L \nu_1^2}$

$\nu_2^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC_2} \implies C_2 = \frac{1}{4\pi^2 L \nu_2^2}$

При параллельном соединении двух конденсаторов их общая ёмкость $C_3$ равна сумме их ёмкостей:

$C_3 = C_1 + C_2$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$:

$C_3 = \frac{1}{4\pi^2 L \nu_1^2} + \frac{1}{4\pi^2 L \nu_2^2} = \frac{1}{4\pi^2 L} \left(\frac{1}{\nu_1^2} + \frac{1}{\nu_2^2}\right)$

Новая частота колебаний контура $\nu_3$ с общей ёмкостью $C_3$ будет равна:

$\nu_3 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_3}}$

Подставим полученное выражение для $C_3$ в эту формулу:

$\nu_3 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot \frac{1}{4\pi^2 L} \left(\frac{1}{\nu_1^2} + \frac{1}{\nu_2^2}\right)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{1}{4\pi^2} \left(\frac{1}{\nu_1^2} + \frac{1}{\nu_2^2}\right)}}$

Упростим выражение:

$\nu_3 = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\nu_1^2} + \frac{1}{\nu_2^2}}}$

Из этого соотношения можно получить расчетную формулу:

$\frac{1}{\nu_3^2} = \frac{1}{\nu_1^2} + \frac{1}{\nu_2^2} = \frac{\nu_2^2 + \nu_1^2}{\nu_1^2 \nu_2^2}$

$\nu_3^2 = \frac{\nu_1^2 \nu_2^2}{\nu_1^2 + \nu_2^2}$

$\nu_3 = \sqrt{\frac{\nu_1^2 \nu_2^2}{\nu_1^2 + \nu_2^2}} = \frac{\nu_1 \nu_2}{\sqrt{\nu_1^2 + \nu_2^2}}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно оставить частоты в килогерцах, так как единицы измерения в числителе и знаменателе сократятся, и результат также будет в килогерцах.

$\nu_3 = \frac{20 \cdot 30}{\sqrt{20^2 + 30^2}} = \frac{600}{\sqrt{400 + 900}} = \frac{600}{\sqrt{1300}} = \frac{600}{10\sqrt{13}} = \frac{60}{\sqrt{13}}$ кГц

Вычислим приближенное значение:

$\nu_3 \approx \frac{60}{3.60555} \approx 16.641$ кГц

Округляя до десятых, получаем 16,6 кГц.

Ответ: $16,6$ кГц.