Номер 12, страница 29, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

12. Определите частоту собственных колебаний идеального контура, если максимальное напряжение на обкладках его конденсатора емкостью $C = 0.5 \text{ мкФ}$ равно $U_n = 100 \text{ В}$, а максимальное значение силы тока в контуре $I_n = 50 \text{ мА}$.

Ответ: $160 \text{ Гц}$.

Дано:

$C = 0,5$ мкФ

$U_m = 100$ В

$I_m = 50$ мА

$C = 0,5 \cdot 10^{-6}$ Ф

$I_m = 50 \cdot 10^{-3}$ А $= 0,05$ А

Найти:

$\nu$ - ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная энергия сохраняется. Происходит периодическое превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Максимальная энергия, запасенная в конденсаторе, равна максимальной энергии, запасенной в катушке индуктивности.

Максимальная энергия электрического поля конденсатора $W_{C, max}$ вычисляется по формуле:

$W_{C, max} = \frac{C U_m^2}{2}$

Максимальная энергия магнитного поля катушки $W_{L, max}$ вычисляется по формуле:

$W_{L, max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии для идеального контура:

$W_{C, max} = W_{L, max}$

$\frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$

Из этого равенства мы можем выразить индуктивность катушки $\text{L}$, которая нам неизвестна:

$C U_m^2 = L I_m^2$

$L = C \frac{U_m^2}{I_m^2} = C \left(\frac{U_m}{I_m}\right)^2$

Частота собственных колебаний $\nu$ в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Теперь подставим полученное выражение для $\text{L}$ в формулу Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{C \cdot C \left(\frac{U_m}{I_m}\right)^2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{C^2 \left(\frac{U_m}{I_m}\right)^2}}$

Извлекая корень из знаменателя, получаем:

$\nu = \frac{1}{2\pi C \frac{U_m}{I_m}} = \frac{I_m}{2\pi C U_m}$

Теперь у нас есть формула для частоты, использующая только известные из условия величины. Подставим в нее числовые значения в системе СИ:

$\nu = \frac{0,05 \text{ А}}{2\pi \cdot (0,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot 100 \text{ В}} = \frac{0,05}{2\pi \cdot 0,5 \cdot 100 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,05}{\pi \cdot 100 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,05}{\pi \cdot 10^{-4}}$ Гц

$\nu = \frac{0,05 \cdot 10^4}{\pi} = \frac{500}{\pi}$ Гц

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14159$:

$\nu \approx \frac{500}{3,14159} \approx 159,155$ Гц

Округляя результат, получаем значение, указанное в ответе к задаче.

$\nu \approx 160$ Гц

Ответ: $\nu \approx 160$ Гц.