Номер 6, страница 28, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*6. Идеальный колебательный контур состоит из катушки индуктивностью $L = 0.2 \text{ Гн}$ и конденсатора емкостью $C = 10 \text{ мкФ}$. В момент, когда напряжение на конденсаторе $u = 1 \text{ В}$, сила тока в контуре $i = 0.01 \text{ А}$. Найдите максимальную силу тока в контуре.

Ответ: $\approx 0.012 \text{ А}$.

*6. Дано: $L = 0.2 \text{ Гн}$ $C = 10 \text{ мкФ}$ $u = 1 \text{ В}$ $i = 0.01 \text{ А}$

В системе СИ: $C = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Найти: $I_{max}$ — ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная электромагнитная энергия сохраняется во времени. Эта энергия состоит из энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_L$ и энергии электрического поля конденсатора $W_C$.

В произвольный момент времени полная энергия контура $\text{W}$ равна сумме этих энергий: $W = W_L + W_C = \frac{L i^2}{2} + \frac{C u^2}{2}$ где $\text{L}$ — индуктивность катушки, $\text{C}$ — емкость конденсатора, $\text{i}$ — мгновенное значение силы тока, $\text{u}$ — мгновенное значение напряжения на конденсаторе.

Когда сила тока в контуре достигает своего максимального (амплитудного) значения $I_{max}$, напряжение на конденсаторе (а значит, и его заряд) равно нулю. В этот момент вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки: $W = W_{L,max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура постоянна. Поэтому мы можем приравнять выражения для полной энергии в произвольный момент времени и в момент, когда ток максимален: $\frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{L i^2}{2} + \frac{C u^2}{2}$

Для нахождения $I_{max}$ умножим обе части уравнения на 2: $L I_{max}^2 = L i^2 + C u^2$

Разделим обе части на $\text{L}$: $I_{max}^2 = i^2 + \frac{C u^2}{L}$

Теперь извлечем квадратный корень: $I_{max} = \sqrt{i^2 + \frac{C u^2}{L}}$

Подставим данные из условия задачи в полученную формулу: $I_{max} = \sqrt{(0.01 \text{ А})^2 + \frac{10^{-5} \text{ Ф} \cdot (1 \text{ В})^2}{0.2 \text{ Гн}}}$ $I_{max} = \sqrt{0.0001 + \frac{10^{-5}}{0.2}} = \sqrt{0.0001 + 5 \cdot 10^{-5}} = \sqrt{0.0001 + 0.00005} = \sqrt{0.00015}$ $I_{max} = \sqrt{1.5 \cdot 10^{-4}} = \sqrt{1.5} \cdot 10^{-2} \text{ А} \approx 1.2247 \cdot 10^{-2} \text{ А}$

Округляя результат, получаем: $I_{max} \approx 0.012 \text{ А}$

Ответ: максимальная сила тока в контуре составляет примерно $0.012 \text{ А}$.