Номер 2, страница 26, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. По указанию учителя разделитесь на группы по 4-5 человек. Вместе составьте три задачи на тему "Свободные электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре", обсудите условия составленных задач, корректность их условий и возможные пути решения. Поменяйтесь задачами с другой группой, решите их. Оцените эти задачи. Затем вынесите ваше решение на обсуждение (устно или письменно по указанию учителя).

В соответствии с заданием, приводим пример трех составленных задач на тему "Свободные электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре" и их подробные решения.

Задача 1: Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2 мкФ и катушки индуктивностью 8 мГн. Определите период и циклическую частоту свободных электромагнитных колебаний в этом контуре.

Дано:

$C = 2$ мкФ

$L = 8$ мГн

В системе СИ:

$C = 2 \cdot 10^{-6}$ Ф

$L = 8 \cdot 10^{-3}$ Гн

Найти:

$T - ?$

$\omega - ?$

Решение:

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Подставим числовые значения из данных, переведенных в систему СИ:

$T = 2\pi\sqrt{8 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{16 \cdot 10^{-9} \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 4 \cdot 10^{-4.5} \text{ с} \approx 7.95 \cdot 10^{-4}$ с.

Циклическая частота колебаний $\omega$ связана с периодом $\text{T}$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$ или может быть найдена напрямую по формуле:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим числовые значения:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{8 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 10^{-9} \text{ с}^2}} = \frac{1}{4 \cdot 10^{-4.5} \text{ с}} \approx 7910$ рад/с.

Ответ: период колебаний $T \approx 7.95 \cdot 10^{-4}$ с, циклическая частота $\omega \approx 7910$ рад/с.

Задача 2: В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Максимальный заряд на конденсаторе равен 40 нКл, а максимальная сила тока в катушке составляет 20 мА. Найдите индуктивность катушки, если емкость конденсатора равна 100 пФ.

Дано:

$q_{max} = 40$ нКл

$I_{max} = 20$ мА

$C = 100$ пФ

В системе СИ:

$q_{max} = 40 \cdot 10^{-9}$ Кл

$I_{max} = 20 \cdot 10^{-3}$ А

$C = 100 \cdot 10^{-12}$ Ф $= 10^{-10}$ Ф

Найти:

$L - ?$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется. Это означает, что максимальная энергия электрического поля конденсатора $W_{C,max}$ равна максимальной энергии магнитного поля катушки $W_{L,max}$:

$W_{C,max} = W_{L,max}$

Максимальная энергия конденсатора выражается формулой:

$W_{C,max} = \frac{q_{max}^2}{2C}$

Максимальная энергия катушки индуктивности выражается формулой:

$W_{L,max} = \frac{LI_{max}^2}{2}$

Приравнивая правые части выражений, получаем закон сохранения энергии для контура:

$\frac{q_{max}^2}{2C} = \frac{LI_{max}^2}{2}$

Из этого уравнения выразим искомую индуктивность $\text{L}$:

$L = \frac{q_{max}^2}{C \cdot I_{max}^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$L = \frac{(40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл})^2}{10^{-10} \text{ Ф} \cdot (20 \cdot 10^{-3} \text{ А})^2} = \frac{1600 \cdot 10^{-18}}{10^{-10} \cdot 400 \cdot 10^{-6}} = \frac{1600 \cdot 10^{-18}}{400 \cdot 10^{-16}} = 4 \cdot 10^{-2}$ Гн.

Ответ: индуктивность катушки $L = 0.04$ Гн (или 40 мГн).

Задача 3: Заряд на обкладках конденсатора в идеальном колебательном контуре с индуктивностью катушки $L = 0.1$ Гн изменяется со временем по закону $q(t) = 5 \cdot 10^{-6} \cos(2000 \pi t)$ (все величины в СИ). Определите силу тока в контуре в момент времени $t = 0,25$ мс. Какова максимальная энергия магнитного поля катушки?

Дано:

$q(t) = 5 \cdot 10^{-6} \cos(2000 \pi t)$

$L = 0.1$ Гн

$t = 0,25$ мс

В системе СИ:

$t = 0.25 \cdot 10^{-3}$ с

Найти:

$i(t) - ?$

$W_{L,max} - ?$

Решение:

1. Сила тока $i(t)$ является первой производной от заряда $q(t)$ по времени: $i(t) = q'(t)$.

Из заданного уравнения для заряда $q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$ можно определить амплитуду заряда $q_{max} = 5 \cdot 10^{-6}$ Кл и циклическую частоту $\omega = 2000 \pi$ рад/с.

Найдем производную:

$i(t) = \frac{d}{dt} (5 \cdot 10^{-6} \cos(2000 \pi t)) = - 5 \cdot 10^{-6} \cdot 2000 \pi \cdot \sin(2000 \pi t) = -0.01 \pi \sin(2000 \pi t)$ A.

Теперь вычислим значение силы тока в момент времени $t = 0.25 \cdot 10^{-3}$ с. Сначала найдем фазу колебаний $\omega t$:

$\omega t = (2000 \pi) \cdot (0.25 \cdot 10^{-3}) = 500 \pi \cdot 10^{-3} = 0.5 \pi = \frac{\pi}{2}$.

Подставим значение фазы в уравнение для тока:

$i(t = 0.25 \text{ мс}) = -0.01 \pi \sin(\frac{\pi}{2}) = -0.01 \pi \cdot 1 = -0.01 \pi$ А $\approx -0.0314$ А.

2. Максимальная энергия магнитного поля катушки $W_{L,max}$ вычисляется по формуле:

$W_{L,max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Амплитуда силы тока $I_{max}$ определяется из уравнения для $i(t)$ как максимальное значение по модулю:

$I_{max} = 0.01 \pi$ А.

Подставим значения индуктивности $\text{L}$ и амплитуды тока $I_{max}$:

$W_{L,max} = \frac{0.1 \text{ Гн} \cdot (0.01 \pi \text{ А})^2}{2} = \frac{0.1 \cdot 10^{-4} \pi^2}{2} = 5 \cdot 10^{-6} \pi^2$ Дж.

Вычислим приближенное значение: $W_{L,max} \approx 5 \cdot 10^{-6} \cdot (3.14)^2 \approx 4.93 \cdot 10^{-5}$ Дж.

Ответ: сила тока в момент времени $t=0,25$ мс равна $-0.01 \pi$ А (приблизительно -0.0314 А); максимальная энергия магнитного поля катушки равна $5 \cdot 10^{-6} \pi^2$ Дж (приблизительно 49.3 мкДж).