Номер 4, страница 28, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Катушка индуктивностью $L = 31$ мГн, активным сопротивлением $R = 0$ соединена с плоским конденсатором, площадь пластин которого $S = 20$ см$^2$ и расстояние между ними $d = 1$ см. Наибольшее значение силы тока в контуре $I_m = 0,2$ мА, а максимальное напряжение на обкладках конденсатора $U_m = 10$ В. Чему равна диэлектрическая проницаемость диэлектрика, которым заполнено пространство между обкладками конденсатора?

Ответ: $ \varepsilon = 7$.

Дано:

Индуктивность катушки $L = 31 \text{ мГн}$

Активное сопротивление $R = 0$

Площадь пластин конденсатора $S = 20 \text{ см}^2$

Расстояние между пластинами $d = 1 \text{ см}$

Наибольшее значение силы тока $I_m = 0,2 \text{ мА}$

Максимальное напряжение на конденсаторе $U_m = 10 \text{ В}$

Электрическая постоянная $\epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Перевод в систему СИ:

$L = 31 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$S = 20 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$d = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$I_m = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Найти:

Диэлектрическую проницаемость диэлектрика $\epsilon - ?$

Решение:

Задача описывает колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора. Поскольку активное сопротивление равно нулю ($R=0$), контур является идеальным, и в нем выполнятся закон сохранения энергии. Энергия в контуре периодически переходит из энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора и обратно.

Максимальная энергия магнитного поля катушки $W_{L,max}$ достигается, когда сила тока в контуре максимальна ($I = I_m$):

$W_{L,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Максимальная энергия электрического поля конденсатора $W_{C,max}$ достигается, когда напряжение на его обкладках максимально ($U = U_m$):

$W_{C,max} = \frac{C U_m^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии для идеального колебательного контура, максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля:

$W_{L,max} = W_{C,max}$

$\frac{L I_m^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2}$

Из этого равенства можно выразить емкость конденсатора $\text{C}$:

$L I_m^2 = C U_m^2$

$C = \frac{L I_m^2}{U_m^2}$

С другой стороны, емкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, определяется формулой:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $\text{S}$ – площадь пластин, $\text{d}$ – расстояние между ними.

Приравняем два выражения для емкости $\text{C}$:

$\frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d} = \frac{L I_m^2}{U_m^2}$

Выразим искомую диэлектрическую проницаемость $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{L I_m^2 d}{U_m^2 \epsilon_0 S}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\epsilon = \frac{(31 \cdot 10^{-3}) \cdot (0,2 \cdot 10^{-3})^2 \cdot (1 \cdot 10^{-2})}{10^2 \cdot (8,85 \cdot 10^{-12}) \cdot (20 \cdot 10^{-4})}$

$\epsilon = \frac{31 \cdot 10^{-3} \cdot 0,04 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-2}}{100 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 20 \cdot 10^{-4}} = \frac{1,24 \cdot 10^{-11}}{17700 \cdot 10^{-16}} = \frac{1,24 \cdot 10^{-11}}{1,77 \cdot 10^{-12}}$

$\epsilon \approx 7,0056$

Округляя до целого числа, получаем $\epsilon = 7$.

Ответ: диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 7.