Номер 3, страница 28, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром $D = 20 \text{ см}$ каждая, замкнут на катушку индуктивностью $L = 1 \text{ мГн}$. Определите наибольшее значение напряжения на конденсаторе, если максимальная сила тока в контуре $0,1 \text{ А}$. Расстояние между пластинами конденсатора $1 \text{ см}$, сопротивлением проводов и катушки пренебречь.

Ответ: $600 \text{ В}$.

Дано:

Диаметр пластин конденсатора $D = 20$ см

Индуктивность катушки $L = 1$ мГн

Максимальная сила тока в контуре $I_{max} = 0,1$ А

Расстояние между пластинами $d = 1$ см

Сопротивление контура $R = 0$ (пренебрегаем)

Диэлектрическая проницаемость воздуха $\varepsilon \approx 1$

Электрическая постоянная $\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Перевод в систему СИ:

$D = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

$L = 1 \text{ мГн} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$d = 1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$

Найти:

Наибольшее значение напряжения на конденсаторе $U_{max}$

Решение:

В колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, при отсутствии сопротивления (идеальный контур) выполняется закон сохранения энергии. Энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно. Максимальная энергия, запасенная в катушке, равна максимальной энергии, запасенной в конденсаторе.

Максимальная энергия магнитного поля катушки определяется формулой:

$W_{L_{max}} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Максимальная энергия электрического поля конденсатора определяется формулой:

$W_{C_{max}} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии:

$W_{L_{max}} = W_{C_{max}}$

$\frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

Отсюда можно выразить искомое максимальное напряжение $U_{max}$:

$L I_{max}^2 = C U_{max}^2 \implies U_{max}^2 = \frac{L I_{max}^2}{C} \implies U_{max} = I_{max} \sqrt{\frac{L}{C}}$

Для вычисления $U_{max}$ необходимо найти емкость $\text{C}$ воздушного конденсатора. Емкость плоского конденсатора вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\text{S}$ - площадь одной пластины. Так как пластины круглые, их площадь равна:

$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$

Подставим числовые значения для расчета площади:

$S = \frac{\pi (0,2 \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,04 \text{ м}^2}{4} = 0,01\pi \text{ м}^2$

Теперь рассчитаем емкость конденсатора:

$C = \frac{1 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 0,01\pi \text{ м}^2}{0,01 \text{ м}} = 8,85\pi \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 2,78 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Теперь, зная все величины, можем рассчитать максимальное напряжение на конденсаторе:

$U_{max} = 0,1 \text{ А} \cdot \sqrt{\frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}}{8,85\pi \cdot 10^{-12} \text{ Ф}}} \approx 0,1 \cdot \sqrt{\frac{10^{-3}}{2,78 \cdot 10^{-11}}} \text{ В}$

$U_{max} \approx 0,1 \cdot \sqrt{0,3597 \cdot 10^8} \text{ В} \approx 0,1 \cdot \sqrt{35,97 \cdot 10^6} \text{ В}$

$U_{max} \approx 0,1 \cdot 5,998 \cdot 10^3 \text{ В} \approx 599,8 \text{ В}$

Округляя, получаем 600 В.

Ответ: наибольшее значение напряжения на конденсаторе составляет приблизительно $600 \text{ В}$.