Номер 7, страница 28, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*7. Идеальный колебательный контур состоит из двух последовательно соединенных конденсаторов, емкости которых равны $C_1 = 4 \text{ пФ}$ и $C_1 = 8 \text{ пФ}$ и которые подключены к выводам катушки индуктивностью $L = 0,4 \text{ мГн}$. Определите максимальное напряжение на обкладках конденсаторов, если максимальное значение силы тока в катушке $I_m = 1 \text{ мА}$.

Ответ: 8,2 В; 4,1 В.

Дано:

$C_1 = 4$ пФ

$C_2 = 8$ пФ

$L = 0,4$ мГн

$I_m = 1$ мА

Перевод в систему СИ:

$C_1 = 4 \times 10^{-12}$ Ф

$C_2 = 8 \times 10^{-12}$ Ф

$L = 0,4 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-4}$ Гн

$I_m = 1 \times 10^{-3}$ А

Найти:

$U_{m1}$ - ?, $U_{m2}$ - ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется. Максимальная энергия магнитного поля катушки $W_{L,max}$ в момент, когда ток максимален, равна максимальной энергии электрического поля батареи конденсаторов $W_{C,max}$, когда напряжение на них максимально.

Максимальная энергия, запасенная в катушке, вычисляется по формуле:

$W_{L,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Конденсаторы соединены последовательно, поэтому их общая емкость $C_{общ}$ вычисляется по формуле:

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \implies C_{общ} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$

Подставим значения в СИ:

$C_{общ} = \frac{(4 \times 10^{-12}) \cdot (8 \times 10^{-12})}{4 \times 10^{-12} + 8 \times 10^{-12}} = \frac{32 \times 10^{-24}}{12 \times 10^{-12}} = \frac{8}{3} \times 10^{-12}$ Ф

Максимальную энергию электрического поля можно выразить через максимальный заряд $q_m$, который накапливается на обкладках конденсаторов:

$W_{C,max} = \frac{q_m^2}{2 C_{общ}}$

Из закона сохранения энергии $W_{L,max} = W_{C,max}$ следует:

$\frac{L I_m^2}{2} = \frac{q_m^2}{2 C_{общ}}$

Отсюда выразим максимальный заряд $q_m$:

$q_m^2 = L C_{общ} I_m^2 \implies q_m = I_m \sqrt{L C_{общ}}$

Вычислим значение $q_m$:

$q_m = 10^{-3} \cdot \sqrt{(4 \times 10^{-4}) \cdot (\frac{8}{3} \times 10^{-12})} = 10^{-3} \cdot \sqrt{\frac{32}{3} \times 10^{-16}} \approx 3.266 \times 10^{-11}$ Кл

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе в любой момент времени одинаков. Следовательно, максимальные заряды на них также равны и совпадают с общим максимальным зарядом: $q_{m1} = q_{m2} = q_m$.

Максимальное напряжение на каждом из конденсаторов найдем по формуле $U_m = q_m / C$:

Максимальное напряжение на первом конденсаторе:

$U_{m1} = \frac{q_m}{C_1} = \frac{3.266 \times 10^{-11}}{4 \times 10^{-12}} \approx 8.165$ В

Максимальное напряжение на втором конденсаторе:

$U_{m2} = \frac{q_m}{C_2} = \frac{3.266 \times 10^{-11}}{8 \times 10^{-12}} \approx 4.0825$ В

Округляя результаты до десятых, получаем искомые напряжения.

Ответ: максимальное напряжение на первом конденсаторе $U_{m1} \approx 8,2$ В, на втором конденсаторе $U_{m2} \approx 4,1$ В.