Номер 1, страница 26, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Пользуясь соотношениями $q = q_m \cos(\omega_0 t + \Phi_0)$ и $i = q'$, получите зависимость силы тока в колебательном контуре от времени. Определите разность фаз колебаний заряда и силы тока. Начертите графики законов колебаний заряда и силы тока для значений начальной фазы:

1) $\Phi_0 = 0$

2) $\Phi_0 = \frac{\pi}{4}$

Решение:

Согласно условию, зависимость заряда в колебательном контуре от времени описывается уравнением $q = q_m \cos(\omega_0 t + \Phi_0)$, где $q_m$ — амплитуда колебаний заряда, $\omega_0$ — циклическая частота, а $\Phi_0$ — начальная фаза.

Сила тока $\text{i}$ по определению является производной заряда по времени: $i = q'$.

Найдем производную от выражения для заряда $q(t)$:

$i(t) = \frac{dq}{dt} = (q_m \cos(\omega_0 t + \Phi_0))' = q_m \cdot (-\sin(\omega_0 t + \Phi_0)) \cdot (\omega_0 t + \Phi_0)'$

$i(t) = -q_m \omega_0 \sin(\omega_0 t + \Phi_0)$

Амплитудное значение силы тока равно $I_m = q_m \omega_0$. Тогда зависимость силы тока от времени можно записать как:

$i(t) = -I_m \sin(\omega_0 t + \Phi_0)$

Для определения разности фаз преобразуем это выражение к виду с косинусом, используя тригонометрическую формулу приведения $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$:

$i(t) = I_m \cos(\omega_0 t + \Phi_0 + \frac{\pi}{2})$

Теперь сравним фазы колебаний заряда и силы тока:

Фаза колебаний заряда: $\Psi_q = \omega_0 t + \Phi_0$

Фаза колебаний силы тока: $\Psi_i = \omega_0 t + \Phi_0 + \frac{\pi}{2}$

Разность фаз $\Delta\Psi$ равна:

$\Delta\Psi = \Psi_i - \Psi_q = (\omega_0 t + \Phi_0 + \frac{\pi}{2}) - (\omega_0 t + \Phi_0) = \frac{\pi}{2}$

Таким образом, колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°).

Начертим графики законов колебаний заряда и силы тока для заданных значений начальной фазы.

1) Для начальной фазы $\Phi_0 = 0$

Уравнения колебаний принимают вид:

$q(t) = q_m \cos(\omega_0 t)$

$i(t) = -I_m \sin(\omega_0 t)$

Графики этих зависимостей представлены ниже. Синим цветом показан график заряда $q(t)$, а красным — график силы тока $i(t)$.

2) Для начальной фазы $\Phi_0 = \frac{\pi}{4}$

Уравнения колебаний принимают вид:

$q(t) = q_m \cos(\omega_0 t + \frac{\pi}{4})$

$i(t) = -I_m \sin(\omega_0 t + \frac{\pi}{4})$

Графики этих зависимостей представляют собой графики из предыдущего пункта, смещенные влево по оси времени на величину $T/8$. В начальный момент времени $t=0$ заряд $q(0) = q_m \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{q_m}{\sqrt{2}}$, а сила тока $i(0) = -I_m \sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{I_m}{\sqrt{2}}$.

Ответ: Зависимость силы тока от времени имеет вид $i(t) = -q_m \omega_0 \sin(\omega_0 t + \Phi_0)$, или, в эквивалентной форме, $i(t) = I_m \cos(\omega_0 t + \Phi_0 + \frac{\pi}{2})$, где амплитуда тока $I_m = q_m \omega_0$. Разность фаз между колебаниями силы тока и заряда составляет $\frac{\pi}{2}$, при этом колебания силы тока опережают колебания заряда. Графики для указанных начальных фаз построены в решении.