Номер 3, страница 79, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Резонанс в колебательном контуре, содержащем конденсатор емкостью $C_1 = 1 \text{ мкФ}$, наступает при частоте $V_1 = 400 \text{ Гц}$. Если параллельно этому конденсатору подключить другой конденсатор, резонанс наступит при частоте $V_2 = 100 \text{ Гц}$. Определите емкость второго конденсатора.

Ответ: $15 \text{ мкФ}$.

Дано:

$C_1 = 1$ мкФ $= 1 \cdot 10^{-6}$ Ф

$\nu_1 = 400$ Гц

$\nu_2 = 100$ Гц

Найти:

$C_2$

Решение:

Резонансная частота в колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\nu$ - частота, $\text{L}$ - индуктивность катушки, $\text{C}$ - емкость конденсатора.

В первом случае, когда в контуре находится только конденсатор с емкостью $C_1$, резонансная частота равна $\nu_1$:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$ (1)

Во втором случае, к первому конденсатору параллельно подключают второй конденсатор с емкостью $C_2$. При параллельном соединении конденсаторов их общая емкость $C_{общ}$ равна сумме емкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2$

Новая резонансная частота $\nu_2$ будет определяться общей емкостью:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{общ}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}}$ (2)

Чтобы найти $C_2$, разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}}} = \frac{\sqrt{L(C_1 + C_2)}}{\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_1 + C_2}{C_1}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\frac{\nu_1}{\nu_2})^2 = \frac{C_1 + C_2}{C_1}$

Выразим из этого уравнения искомую емкость $C_2$:

$C_1 \cdot (\frac{\nu_1}{\nu_2})^2 = C_1 + C_2$

$C_2 = C_1 \cdot (\frac{\nu_1}{\nu_2})^2 - C_1$

$C_2 = C_1 \cdot ((\frac{\nu_1}{\nu_2})^2 - 1)$

Подставим числовые значения:

$C_2 = 1 \cdot 10^{-6} \cdot ((\frac{400}{100})^2 - 1) = 1 \cdot 10^{-6} \cdot (4^2 - 1) = 1 \cdot 10^{-6} \cdot (16 - 1) = 15 \cdot 10^{-6}$ Ф

Переведем результат в микрофарады:

$15 \cdot 10^{-6}$ Ф $= 15$ мкФ.

Ответ: 15 мкФ.