Практическое задание, страница 78, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

Начертите векторную диаграмму при резонансе напряжений. Обсудите, сделайте выводы.

Решение

Резонанс напряжений — это явление, возникающее в последовательном колебательном контуре (цепи, содержащей последовательно соединенные резистор $\text{R}$, катушку индуктивности $\text{L}$ и конденсатор $\text{C}$) при определенной частоте переменного тока, называемой резонансной частотой. При этой частоте реактивное сопротивление катушки $X_L$ становится равным реактивному сопротивлению конденсатора $X_C$.

Условие резонанса напряжений: $X_L = X_C$, где $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — емкостное сопротивление. Отсюда можно найти резонансную угловую частоту $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Векторная диаграмма при резонансе напряжений

Векторная диаграмма — это графическое представление амплитуд и фазовых сдвигов напряжений и токов в цепи переменного тока. Для построения диаграммы в последовательной цепи за опорный вектор, направленный по горизонтальной оси, принимают вектор силы тока $\text{I}$, так как ток одинаков для всех элементов цепи.

1. Вектор напряжения на активном сопротивлении $U_R$ совпадает по фазе с током $\text{I}$. Его длина равна $U_R = I \cdot R$.

2. Вектор напряжения на катушке индуктивности $U_L$ опережает ток $\text{I}$ по фазе на 90° ($\frac{\pi}{2}$). Он направлен вертикально вверх. Его длина равна $U_L = I \cdot X_L$.

3. Вектор напряжения на конденсаторе $U_C$ отстает от тока $\text{I}$ по фазе на 90° ($\frac{\pi}{2}$). Он направлен вертикально вниз. Его длина равна $U_C = I \cdot X_C$.

В режиме резонанса $X_L = X_C$, следовательно, амплитуды напряжений на катушке и конденсаторе равны: $U_L = U_C$. Так как векторы $\vec{U}_L$ и $\vec{U}_C$ равны по модулю и противоположны по направлению, их векторная сумма равна нулю: $\vec{U}_L + \vec{U}_C = 0$.

Общее напряжение в цепи $\vec{U}$ является векторной суммой напряжений на всех элементах: $\vec{U} = \vec{U}_R + \vec{U}_L + \vec{U}_C$.

Поскольку $\vec{U}_L + \vec{U}_C = 0$, то при резонансе $\vec{U} = \vec{U}_R$.

На диаграмме видно, что при резонансе напряжений вектор полного напряжения цепи $\vec{U}$ совпадает по направлению с вектором тока $\vec{I}$ и вектором напряжения на резисторе $\vec{U}_R$. Реактивные составляющие напряжения на индуктивности и емкости взаимно компенсируют друг друга.

Обсуждение и выводы

1. Минимальное полное сопротивление (импеданс). Полное сопротивление цепи определяется формулой $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$. В режиме резонанса, так как $X_L = X_C$, разность $(X_L - X_C)$ становится равной нулю. Следовательно, импеданс цепи достигает своего минимального значения и становится чисто активным: $Z_{min} = R$.

2. Максимальная сила тока. Согласно закону Ома для цепи переменного тока, $I = U/Z$. Поскольку при резонансе сопротивление $\text{Z}$ минимально, сила тока в цепи достигает своего максимального значения: $I_{max} = U/R$.

3. Отсутствие сдвига фаз. Так как общее сопротивление цепи является чисто активным ($Z=R$), сдвиг фаз $\phi$ между напряжением источника $\text{U}$ и током в цепи $\text{I}$ равен нулю ($\phi = 0$). Это означает, что цепь ведет себя как обычный резистор, а коэффициент мощности $\cos\phi = 1$.

4. Перенапряжение на реактивных элементах. Напряжения на катушке ($U_L = I_{max}X_L$) и конденсаторе ($U_C = I_{max}X_C$) при резонансе равны по величине и могут значительно превышать напряжение источника питания $\text{U}$. Величина этого превышения характеризуется добротностью контура $\text{Q}$: $U_L = U_C = Q \cdot U$. Добротность $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}$ показывает, во сколько раз напряжение на катушке или конденсаторе больше напряжения источника. Если добротность велика ($Q \gg 1$), то в цепи возникает значительное перенапряжение. Это свойство используется в радиотехнике для усиления слабых сигналов, но может быть опасным в силовых электрических цепях.

Ответ:

При резонансе напряжений в последовательной RLC-цепи векторная диаграмма показывает, что векторы напряжений на индуктивности ($\vec{U}_L$) и емкости ($\vec{U}_C$) равны по модулю и противоположны по направлению, из-за чего они взаимно компенсируются. В результате вектор полного напряжения на зажимах цепи ($\vec{U}$) совпадает по фазе и направлению с вектором тока ($\vec{I}$) и вектором напряжения на активном сопротивлении ($\vec{U}_R$). Основные выводы: 1) полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению ($Z=R$); 2) ток в цепи максимален ($I=U/R$); 3) сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю ($\phi=0$); 4) напряжения на катушке и конденсаторе могут многократно превышать напряжение источника ($U_L = U_C = Q \cdot U$).