Номер 3, страница 74, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Цепь переменного тока состоит из катушки индуктивностью $L = 0,5 \text{ Гн}$, активного сопротивления $R = 1 \text{ кОм}$ и конденсатора емкостью $C = 1 \text{ мкФ}$. Определите мощность, выделяемую в цепи, если амплитуда напряжения $U_n = 100 \text{ В}$, а частота тока $V = 50 \text{ Гц}$.

Ответ: $0,5 \text{ Вт}$.

Дано:

Индуктивность катушки $L = 0,5$ Гн

Активное сопротивление $R = 1$ кОм

Емкость конденсатора $C = 1$ мкФ

Амплитуда напряжения $U_m = 100$ В

Частота тока $f = 50$ Гц (в условии обозначена как V)

Перевод в систему СИ:

$R = 1 \text{ кОм} = 1 \cdot 10^3 \text{ Ом} = 1000 \text{ Ом}$

$C = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Мощность, выделяемую в цепи $\text{P}$.

Решение:

В цепи переменного тока мощность выделяется только на активном сопротивлении. Средняя мощность $\text{P}$ в последовательной RLC-цепи может быть рассчитана по формуле, связывающей ее с амплитудой напряжения $U_m$, активным сопротивлением $\text{R}$ и полным сопротивлением цепи $\text{Z}$:

$P = \frac{U_m^2 R}{2Z^2}$

Полное сопротивление (импеданс) $\text{Z}$ для последовательной RLC-цепи вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

где $X_L$ - индуктивное сопротивление, а $X_C$ - емкостное сопротивление.

Для вычисления реактивных сопротивлений сначала найдем циклическую (угловую) частоту $\omega$:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi \text{ рад/с}$

Теперь рассчитаем индуктивное и емкостное сопротивления.

Индуктивное сопротивление:

$X_L = \omega L = 100\pi \text{ рад/с} \cdot 0,5 \text{ Гн} = 50\pi \text{ Ом} \approx 157,1 \text{ Ом}$

Емкостное сопротивление:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \text{ рад/с} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{10^4}{\pi} \text{ Ом} \approx 3183,1 \text{ Ом}$

Теперь найдем квадрат полного сопротивления $Z^2$:

$Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$

$Z^2 \approx (1000 \text{ Ом})^2 + (157,1 \text{ Ом} - 3183,1 \text{ Ом})^2 = 1000^2 + (-3026)^2 = 1000000 + 9156676 = 10156676 \text{ Ом}^2$

Наконец, рассчитаем выделяемую мощность $\text{P}$:

$P = \frac{U_m^2 R}{2Z^2} = \frac{(100 \text{ В})^2 \cdot 1000 \text{ Ом}}{2 \cdot 10156676 \text{ Ом}^2} = \frac{10000 \cdot 1000}{20313352} = \frac{10^7}{20313352} \text{ Вт} \approx 0,4923 \text{ Вт}$

Округляя полученное значение, получаем искомый результат.

Ответ: $P \approx 0,5 \text{ Вт}$.