Номер 4, страница 74, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. В цепь переменного тока частотой $\nu = 50 \text{ Гц}$ с эффективным напряжением $U_э = 220 \text{ В}$ подключены последовательно катушка индуктивностью $L = 0,5 \text{ Гн}$, активное сопротивление $R = 10 \text{ Ом}$ и конденсатор емкостью $C = 0,5 \text{ мкФ}$. Определите активную мощность.

Ответ: 1,2 мВт.

Дано:

Частота переменного тока $ \nu = 50 \text{ Гц} $

Эффективное напряжение $ U_{эф} = 220 \text{ В} $

Индуктивность $ L = 0,5 \text{ Гн} $

Активное сопротивление $ R = 10 \text{ Ом} $

Емкость $ C = 0,5 \text{ мкФ} $

$ C = 0,5 \text{ мкФ} = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} $

Найти:

Активную мощность $ P_a $

Решение:

Активная мощность в цепи переменного тока выделяется на активном сопротивлении и определяется по формуле:

$ P_a = I_{эф}^2 \cdot R $

где $ I_{эф} $ — эффективное значение силы тока в цепи.

Согласно закону Ома для цепи переменного тока, эффективная сила тока равна:

$ I_{эф} = \frac{U_{эф}}{Z} $

где $ Z $ — полное сопротивление (импеданс) цепи.

Полное сопротивление для последовательного RLC-контура вычисляется по формуле:

$ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} $

Здесь $ X_L $ — индуктивное сопротивление, а $ X_C $ — емкостное сопротивление.

Подставив выражение для тока в формулу мощности, получим:

$ P_a = \left(\frac{U_{эф}}{Z}\right)^2 \cdot R = \frac{U_{эф}^2 \cdot R}{Z^2} = \frac{U_{эф}^2 \cdot R}{R^2 + (X_L - X_C)^2} $

Найдем значения реактивных сопротивлений. Сначала определим угловую частоту тока:

$ \omega = 2\pi\nu = 2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi \text{ рад/с} \approx 314,16 \text{ рад/с} $

Индуктивное сопротивление:

$ X_L = \omega L = 100\pi \cdot 0,5 \text{ Гн} = 50\pi \text{ Ом} \approx 157,08 \text{ Ом} $

Емкостное сопротивление:

$ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{50\pi \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} = \frac{10^6}{50\pi} \text{ Ом} = \frac{20000}{\pi} \text{ Ом} \approx 6366,19 \text{ Ом} $

Теперь можем рассчитать квадрат полного сопротивления:

$ Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2 = 10^2 + (157,08 - 6366,19)^2 = 100 + (-6209,11)^2 $

$ Z^2 = 100 + 38553048,5 = 38553148,5 \text{ Ом}^2 $

Наконец, вычислим активную мощность:

$ P_a = \frac{220^2 \cdot 10}{38553148,5} = \frac{48400 \cdot 10}{38553148,5} = \frac{484000}{38553148,5} \approx 0,01255 \text{ Вт} $

Переведем мощность в милливатты:

$ P_a = 0,01255 \text{ Вт} = 12,55 \text{ мВт} $

(Примечание: Ответ, приведенный в задаче, 1,2 мВт, вероятно, является опечаткой. Расчет по указанным данным дает значение около 12,6 мВт).

Ответ: $ P_a \approx 12,6 \text{ мВт} $.