Номер 5, страница 74, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*5. В сеть переменного тока с эффективным напряжением $U_e = 110$ В и частотой $V = 50$ Гц, последовательно включены катушка индуктивностью $L = 0,2$ Гн, активное сопротивление $R = 20$ Ом и конденсатор, емкость которого может изменяться. При каком значении емкости мощность тока будет максимальной? Какова эта мощность?

Ответ: $C = 0,5 \cdot 10^{-4}$ Ф, $P \approx 605$ Вт.

Дано:

Эффективное напряжение $U_{эф} = 110$ В

Частота переменного тока $\nu = 50$ Гц

Индуктивность катушки $L = 0,2$ Гн

Активное сопротивление $R = 20$ Ом

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Емкость $\text{C}$, при которой мощность тока будет максимальной; максимальную мощность $P_{max}$.

Решение:

В цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор (RLC-контур), средняя мощность, выделяемая в цепи, определяется формулой:

$P = I_{эф}^2 R$

где $I_{эф}$ — эффективное значение силы тока, а $\text{R}$ — активное сопротивление.

Из формулы видно, что мощность тока будет максимальной, когда сила тока в цепи достигнет своего максимального значения. Сила тока в цепи переменного тока определяется законом Ома:

$I_{эф} = \frac{U_{эф}}{Z}$

где $\text{Z}$ — полное сопротивление цепи (импеданс). Чтобы сила тока была максимальной, полное сопротивление $\text{Z}$ должно быть минимальным.

Полное сопротивление для последовательного RLC-контура вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

где $X_L$ — индуктивное сопротивление, а $X_C$ — емкостное сопротивление.

Импеданс $\text{Z}$ будет минимален, когда слагаемое $(X_L - X_C)^2$ равно нулю, так как $\text{R}$ — постоянная величина. Это условие выполняется, когда индуктивное сопротивление равно емкостному:

$X_L = X_C$

Это явление называется резонансом напряжений. При резонансе импеданс цепи минимален и равен активному сопротивлению: $Z_{min} = R$.

Найдем значение емкости $\text{C}$, при котором наступает резонанс. Индуктивное и емкостное сопротивления определяются как:

$X_L = \omega L = 2\pi\nu L$

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C}$

Приравнивая их, получаем:

$2\pi\nu L = \frac{1}{2\pi\nu C}$

Выразим из этого уравнения искомую емкость $\text{C}$:

$C = \frac{1}{(2\pi\nu)^2 L} = \frac{1}{4\pi^2\nu^2 L}$

Подставим числовые значения:

$C = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (50 \text{ Гц})^2 \cdot 0,2 \text{ Гн}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 2500 \cdot 0,2 \text{ Ф}} = \frac{1}{2000\pi^2 \text{ Ф}}$

Используя приближение $\pi^2 \approx 10$, которое часто применяется в учебных задачах, получим:

$C \approx \frac{1}{2000 \cdot 10 \text{ Ф}} = \frac{1}{20000 \text{ Ф}} = 0,00005 \text{ Ф} = 0,5 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}$

Теперь найдем максимальную мощность. При резонансе, как мы выяснили, $Z = R$. Максимальная сила тока будет:

$I_{эф, max} = \frac{U_{эф}}{R}$

Тогда максимальная мощность будет равна:

$P_{max} = I_{эф, max}^2 R = \left(\frac{U_{эф}}{R}\right)^2 R = \frac{U_{эф}^2}{R}$

Подставим числовые значения:

$P_{max} = \frac{(110 \text{ В})^2}{20 \text{ Ом}} = \frac{12100 \text{ Вт}}{20} = 605 \text{ Вт}$

Ответ: емкость, при которой мощность тока будет максимальной, составляет $C = 0,5 \cdot 10^{-4}$ Ф. Максимальная мощность при этом равна $P_{max} = 605$ Вт.