Номер 2, страница 79, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивностью $L = 10^{-6}$ Гн и плоского воздушного конденсатора, площадь каждой пластины которого $S = 100 \text{ см}^2$, резонирует на частоте $V_{рез} = 2 \cdot 10^7$ Гц. Определите расстояние между пластинами конденсатора.

Ответ: 0,14 см.

Дано:

Индуктивность катушки $L = 10^{-6}$ Гн

Площадь пластин конденсатора $S = 100$ см²

Резонансная частота $\nu_{рез} = 2 \cdot 10^7$ Гц

Электрическая постоянная $\epsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon \approx 1$

Перевод в систему СИ:

$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-2} \text{ м}^2$

Найти:

Расстояние между пластинами конденсатора $\text{d}$.

Решение:

Резонансная частота колебательного контура определяется по формуле Томсона:

$\nu_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – ёмкость конденсатора.

Из этой формулы выразим ёмкость конденсатора $\text{C}$. Для этого возведём обе части уравнения в квадрат:

$\nu_{рез}^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC}$

Отсюда ёмкость равна:

$C = \frac{1}{4\pi^2 L \nu_{рез}^2}$

С другой стороны, ёмкость плоского воздушного конденсатора можно рассчитать по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды между пластинами (для воздуха $\epsilon \approx 1$), $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $\text{S}$ – площадь пластин, $\text{d}$ – расстояние между ними.

Приравняем два выражения для ёмкости $\text{C}$:

$\frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d} = \frac{1}{4\pi^2 L \nu_{рез}^2}$

Выразим из этого равенства искомое расстояние $\text{d}$:

$d = 4\pi^2 L \nu_{рез}^2 \epsilon \epsilon_0 S$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведём вычисления:

$d = 4 \cdot (3.14)^2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot (2 \cdot 10^7 \text{ Гц})^2 \cdot 1 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

$d = 4 \cdot 9.86 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^{14} \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-2}$ м

Сгруппируем числовые множители и степени десяти:

$d = (4 \cdot 9.86 \cdot 4 \cdot 8.85) \cdot (10^{-6} \cdot 10^{14} \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-2})$ м

$d \approx 1397.4 \cdot 10^{-6+14-12-2}$ м

$d \approx 1397.4 \cdot 10^{-6}$ м

$d \approx 1.4 \cdot 10^{-3}$ м

Переведём результат в сантиметры:

$d = 1.4 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.14 \text{ см}$

Ответ: $0.14$ см.