Номер 4, страница 79, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*4. В цепь переменного тока с напряжением $U = 110 \text{ В}$ и частотой $V = 50 \text{ Гц}$ последовательно включены катушка индуктивностью $L = 0.5 \text{ Гн}$, активное сопротивление $R = 40 \text{ Ом}$ и конденсатор переменной емкости. При какой емкости конденсатора наступает резонанс напряжений? Определите силу тока в цепи при резонансе и соответствующее напряжение на конденсаторе.

Ответ: $20.3 \text{ мкФ}$; $2.75 \text{ А}$; $431 \text{ В}$.

Дано:

Напряжение в цепи $U = 110$ В

Частота тока $\nu = 50$ Гц

Индуктивность катушки $L = 0,5$ Гн

Активное сопротивление $R = 40$ Ом

Найти:

Емкость конденсатора $\text{C}$, при которой наступает резонанс.

Силу тока $I_{рез}$ при резонансе.

Напряжение на конденсаторе $U_C$ при резонансе.

Решение:

При какой емкости конденсатора наступает резонанс напряжений?

Резонанс напряжений в последовательном RLC-контуре наступает, когда индуктивное сопротивление $X_L$ равно емкостному сопротивлению $X_C$.

$X_L = X_C$

Индуктивное сопротивление определяется формулой $X_L = \omega L$, где $\omega$ - циклическая частота.

Емкостное сопротивление определяется формулой $X_C = \frac{1}{\omega C}$.

Циклическая частота связана с линейной частотой $\nu$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

Приравняем сопротивления: $2\pi\nu L = \frac{1}{2\pi\nu C}$.

Из этого равенства выразим искомую емкость $\text{C}$:

$C = \frac{1}{(2\pi\nu)^2 L}$

Подставим числовые значения:

$C = \frac{1}{(2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ Гц})^2 \cdot 0,5 \text{ Гн}} = \frac{1}{(100\pi)^2 \cdot 0,5} = \frac{1}{5000\pi^2} \text{ Ф}$

Вычислим значение, приняв $\pi \approx 3,14159$:

$C \approx \frac{1}{5000 \cdot (3,14159)^2} \approx \frac{1}{49348} \approx 0,00002026 \text{ Ф}$

Переведем в микрофарады: $C \approx 20,26 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 20,26 \text{ мкФ}$. Округлив до одного знака после запятой, получаем $20,3 \text{ мкФ}$.

Ответ: $20,3 \text{ мкФ}$.

Определите силу тока в цепи при резонансе

Полное сопротивление цепи (импеданс) $\text{Z}$ для последовательного RLC-контура определяется по формуле $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.

В условиях резонанса $X_L = X_C$, поэтому их разность $X_L - X_C = 0$. Импеданс цепи становится минимальным и равным активному сопротивлению:

$Z_{рез} = R = 40 \text{ Ом}$

Сила тока в цепи при резонансе находится по закону Ома для цепи переменного тока:

$I_{рез} = \frac{U}{Z_{рез}} = \frac{U}{R}$

Подставим числовые значения:

$I_{рез} = \frac{110 \text{ В}}{40 \text{ Ом}} = 2,75 \text{ А}$

Ответ: $2,75 \text{ А}$.

и соответствующее напряжение на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе $U_C$ равно произведению силы тока $I_{рез}$ на емкостное сопротивление $X_C$.

$U_C = I_{рез} \cdot X_C$

Рассчитаем емкостное сопротивление $X_C$, используя найденное и округленное значение емкости $C \approx 20,3 \text{ мкФ} = 20,3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$.

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C} = \frac{1}{100\pi \text{ рад/с} \cdot 20,3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}$

$X_C \approx \frac{10^4}{20,3 \cdot \pi} \approx \frac{10000}{63,77} \approx 156,82 \text{ Ом}$

Теперь вычислим напряжение на конденсаторе:

$U_C = I_{рез} \cdot X_C \approx 2,75 \text{ А} \cdot 156,82 \text{ Ом} \approx 431,255 \text{ В}$

Округляя результат до целого числа, получаем $431 \text{ В}$.

Ответ: $431 \text{ В}$.