Номер 10, страница 131, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*10. Энергия электромагнитных колебаний в колебательном контуре $W = 0,5 \text{ мДж}$, частота колебаний $\Pi = 400 \text{ кГц}$, максимальный заряд конденсатора $q_0 = 50 \text{ нКл}$. Определите индуктивность катушки, включенной в данный контур.

Ответ: $0,06 \text{ Гн}$.

Дано:

Энергия электромагнитных колебаний $W = 0,5 \text{ мДж}$

Частота колебаний $\nu = 400 \text{ кГц}$ (в условии задачи обозначена как П)

Максимальный заряд конденсатора $q_0 = 50 \text{ нКл}$

Перевод в систему СИ:

$W = 0,5 \times 10^{-3} \text{ Дж}$

$\nu = 400 \times 10^{3} \text{ Гц} = 4 \times 10^5 \text{ Гц}$

$q_0 = 50 \times 10^{-9} \text{ Кл} = 5 \times 10^{-8} \text{ Кл}$

Найти:

Индуктивность катушки $\text{L}$.

Решение:

Полная энергия $\text{W}$ в колебательном контуре сохраняется. Она может быть выражена через максимальную энергию магнитного поля катушки:

$W = \frac{LI_0^2}{2}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $I_0$ – амплитуда (максимальное значение) силы тока.

Амплитуда силы тока $I_0$ связана с амплитудой заряда $q_0$ и циклической частотой колебаний $\omega$ следующим соотношением:

$I_0 = \omega q_0$

Циклическая частота $\omega$, в свою очередь, связана с линейной частотой $\nu$ по формуле:

$\omega = 2\pi\nu$

Объединим формулы. Сначала подставим выражение для $\omega$ в формулу для $I_0$:

$I_0 = 2\pi\nu q_0$

Теперь подставим полученное выражение для амплитуды тока в формулу для энергии контура:

$W = \frac{L (2\pi\nu q_0)^2}{2} = \frac{L \cdot 4\pi^2\nu^2 q_0^2}{2} = 2\pi^2\nu^2 q_0^2 L$

Из последнего выражения выразим искомую индуктивность катушки $\text{L}$:

$L = \frac{W}{2\pi^2\nu^2 q_0^2}$

Подставим в полученную формулу числовые значения величин в системе СИ:

$L = \frac{0,5 \times 10^{-3}}{2\pi^2(4 \times 10^5)^2 (5 \times 10^{-8})^2} = \frac{0,5 \times 10^{-3}}{2\pi^2 \cdot 16 \times 10^{10} \cdot 25 \times 10^{-16}}$

Проведем вычисления:

$L = \frac{0,5 \times 10^{-3}}{2\pi^2 \cdot (16 \cdot 25) \cdot (10^{10} \cdot 10^{-16})} = \frac{0,5 \times 10^{-3}}{2\pi^2 \cdot 400 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,5 \times 10^{-3}}{800\pi^2 \cdot 10^{-6}}$

$L = \frac{0,5 \cdot 10^3}{800\pi^2} = \frac{500}{800\pi^2} = \frac{5}{8\pi^2}$ Гн

Для получения численного ответа воспользуемся приближенным значением $\pi^2 \approx 10$:

$L \approx \frac{5}{8 \cdot 10} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = 0,0625$ Гн

Округляя полученный результат до двух знаков после запятой, получаем значение, которое совпадает с ответом, приведенным в условии.

Ответ: $L \approx 0,06$ Гн.