Номер 8, страница 131, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

8. На какую длину волны настроен колебательный контур, если он состоит из катушки индуктивностью $2 \cdot 10^{-3}$ Гн и плоского конденсатора? Расстояние между пластинами конденсатора 1 см, диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего пространство между пластинами, равна 11, площадь пластин $800 \text{ см}^2$.

Ответ: 2350 м.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 2 \cdot 10^{-3}$ Гн

Расстояние между пластинами конденсатора, $d = 1$ см

Диэлектрическая проницаемость, $\epsilon = 11$

Площадь пластин, $S = 800$ см²

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Переведем данные в систему СИ:

$d = 1 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$S = 800 \text{ см}^2 = 800 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 800 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 8 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

Найти:

Длину волны $\lambda$.

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с периодом собственных электромагнитных колебаний $\text{T}$ в контуре соотношением $\lambda = cT$, где $\text{c}$ – скорость света в вакууме.

Период колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Объединяя эти две формулы, получаем выражение для длины волны:

$\lambda = 2\pi c\sqrt{LC}$

Для проведения расчетов необходимо сначала определить емкость $\text{C}$ плоского конденсатора. Формула для емкости плоского конденсатора с диэлектриком имеет вид:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти емкость:

$C = \frac{11 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}} \cdot 8 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2}{1 \cdot 10^{-2} \text{ м}} = 11 \cdot 8.85 \cdot 8 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 7.788 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

Теперь, зная индуктивность $\text{L}$ и емкость $\text{C}$, мы можем рассчитать искомую длину волны $\lambda$.

Вычислим произведение $LC$:

$LC = (2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}) \cdot (7.788 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}) = 15.576 \cdot 10^{-13} \text{ с}^2 = 1.5576 \cdot 10^{-12} \text{ с}^2$

Подставим полученное значение в формулу для длины волны:

$\lambda = 2\pi c\sqrt{LC} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sqrt{1.5576 \cdot 10^{-12} \text{ с}^2}$

Вычислим корень и затем саму длину волны:

$\sqrt{1.5576 \cdot 10^{-12} \text{ с}^2} \approx 1.248 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$\lambda \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 1.248 \cdot 10^{-6} \text{ с} \approx 2352.3 \text{ м}$

Округляя полученный результат, получаем значение, указанное в ответе к задаче.

Ответ: $\lambda \approx 2350 \text{ м}.$