Номер 2, страница 130, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Допустимая объемная плотность энергии электромагнитной волны $2,2 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}/\text{м}^3$. Найдите максимальную напряженность электрического поля волны в воздухе и ее интенсивность.

Ответ: $5 \text{ В}/\text{м}$; $6,6 \cdot 10^{-2} \text{ Вт}/\text{м}^2$

Дано:

Допустимая объемная плотность энергии электромагнитной волны $w = 2.2 \cdot 10^{-10}$ Дж/м³.

Среда распространения - воздух ($ \epsilon \approx 1, \mu \approx 1 $).

Электрическая постоянная $ \epsilon_0 \approx 8.854 \cdot 10^{-12} $ Ф/м.

Скорость света в вакууме $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с.

Найти:

Максимальную напряженность электрического поля $E_{max}$ и интенсивность волны $\text{I}$.

Решение:

Мгновенная объемная плотность энергии электромагнитной волны $\text{w}$ складывается из плотности энергии электрического поля $w_E$ и магнитного поля $w_B$. Для электромагнитной волны эти плотности энергии равны, поэтому полная плотность энергии $w = w_E + w_B = 2w_E$.

Мгновенная плотность энергии электрического поля выражается через мгновенную напряженность $\text{E}$ как $w_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$. Следовательно, полная мгновенная плотность энергии волны равна $w = \epsilon_0 E^2$.

Указанная в условии "допустимая объемная плотность энергии" является максимальным значением этой величины $w_{max}$, которое достигается при максимальной напряженности электрического поля $E_{max}$.

$w_{max} = \epsilon_0 E_{max}^2$

Отсюда можем найти максимальную напряженность электрического поля:

$E_{max} = \sqrt{\frac{w_{max}}{\epsilon_0}}$

Подставим значения:

$E_{max} = \sqrt{\frac{2.2 \cdot 10^{-10} \text{ Дж/м}^3}{8.854 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}}} \approx \sqrt{24.85 \text{ В}^2/\text{м}^2} \approx 4.985 \text{ В/м}$

Округляя, получаем $E_{max} \approx 5$ В/м.

Далее найдем интенсивность волны $\text{I}$. Интенсивность — это средняя по времени мощность, переносимая волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения. Она равна произведению средней плотности энергии $\langle w \rangle$ на скорость света $\text{c}$.

$I = \langle w \rangle \cdot c$

Средняя плотность энергии $\langle w \rangle$ связана с максимальной плотностью энергии $w_{max}$ соотношением:

$\langle w \rangle = \frac{1}{2} w_{max}$

Это происходит потому, что энергия пропорциональна квадрату напряженности поля, которое изменяется по синусоидальному закону, а среднее значение квадрата синуса за период равно $1/2$.

Таким образом, формула для интенсивности приобретает вид:

$I = \frac{1}{2} w_{max} \cdot c$

Подставим числовые значения:

$I = \frac{1}{2} \cdot (2.2 \cdot 10^{-10} \text{ Дж/м}^3) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) = 1.1 \cdot 10^{-10} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ Вт/м}^2$

$I = 3.3 \cdot 10^{-2} \text{ Вт/м}^2$

Ответ: максимальная напряженность электрического поля волны $E_{max} \approx 5$ В/м; интенсивность волны $I = 3.3 \cdot 10^{-2}$ Вт/м².