Номер 7, страница 131, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

7. Фаза колебаний электрического и магнитного векторов электромагнитной волны вдоль направления ее распространения определяется выражением $j = 2\pi\left(t - \frac{r}{c}\right)$, где $\text{r}$ — расстояние от источника колебаний. Покажите, что две пространственные точки, для которых разность фаз колебаний $\Delta j = 2\pi$, находятся на расстоянии $\Delta r = cT = l$ друг от друга.

Ответ: $\Delta j = 2\pi \frac{\Delta r}{c}$ рад, $\Delta r = l$ при $\Delta j = 2\pi$.

Дано:

Фаза колебаний: $j = 2\pi n(t - \frac{r}{c})$

Разность фаз между двумя точками: $\Delta j = 2\pi$

Найти:

Доказать, что расстояние между этими точками $\Delta r = cT = l$.

Решение:

Рассмотрим две пространственные точки, находящиеся на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от источника колебаний. Фазы колебаний в этих точках в один и тот же момент времени $\text{t}$ определяются выражениями:

$j_1 = 2\pi n(t - \frac{r_1}{c})$

$j_2 = 2\pi n(t - \frac{r_2}{c})$

где $\text{n}$ — частота колебаний (в условии обозначена как $\text{n}$, в физике чаще используется $\nu$), $\text{c}$ — скорость распространения волны.

Разность фаз $\Delta j$ между этими точками равна разности их фаз в один и тот же момент времени:

$\Delta j = j_2 - j_1 = 2\pi n(t - \frac{r_2}{c}) - 2\pi n(t - \frac{r_1}{c})$

Вынесем общий множитель $2\pi n$ за скобки:

$\Delta j = 2\pi n \left( (t - \frac{r_2}{c}) - (t - \frac{r_1}{c}) \right) = 2\pi n \left( t - \frac{r_2}{c} - t + \frac{r_1}{c} \right) = 2\pi n \frac{r_1 - r_2}{c}$

Расстояние между точками равно $\Delta r = |r_2 - r_1|$. Тогда модуль разности фаз будет:

$\Delta j = |j_2 - j_1| = \left| 2\pi n \frac{r_1 - r_2}{c} \right| = 2\pi n \frac{|r_2 - r_1|}{c} = 2\pi n \frac{\Delta r}{c}$

Согласно условию задачи, разность фаз $\Delta j = 2\pi$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2\pi = 2\pi n \frac{\Delta r}{c}$

Сократим обе части уравнения на $2\pi$:

$1 = n \frac{\Delta r}{c}$

Отсюда выразим расстояние $\Delta r$:

$\Delta r = \frac{c}{n}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с частотой $\text{n}$ соотношением $T = \frac{1}{n}$. Длина волны $\text{l}$ (в физике чаще используется символ $\lambda$) определяется как расстояние, которое волна проходит за один период, то есть $l = cT$.

Подставим выражение для периода в формулу для длины волны:

$l = cT = c \cdot \frac{1}{n} = \frac{c}{n}$

Сравнивая полученное выражение для $\Delta r$ с выражением для длины волны $\text{l}$, мы видим, что они равны:

$\Delta r = l$

А так как $l = cT$, то окончательно получаем:

$\Delta r = l = cT$

Таким образом, мы доказали, что две точки, разность фаз колебаний в которых равна $2\pi$, находятся на расстоянии друг от друга, равном длине волны $\text{l}$, что также равно произведению скорости волны на ее период $cT$.

Ответ: Показано, что для двух пространственных точек, разность фаз колебаний между которыми составляет $\Delta j = 2\pi$, расстояние $\Delta r$ между ними равно длине волны $l = cT$.