Номер 4, страница 13, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Два космических корабля движутся относительно неподвижного наблюдателя в противоположных направлениях со скоростью $0,7c$. Найдите скорость кораблей относительно друг друга.

Ответ: $0,94c = 2,818 \cdot 10^8$ м/с.

Дано:

Скорость первого корабля относительно наблюдателя, $v_1 = 0,7c$.

Скорость второго корабля относительно наблюдателя, $v_2 = 0,7c$.

Корабли движутся в противоположных направлениях.

Скорость света в вакууме $c \approx 2,998 \cdot 10^8$ м/с.

Найти:

Скорость кораблей относительно друг друга $v_{отн}$.

Решение:

Так как скорости кораблей сопоставимы со скоростью света, для вычисления их относительной скорости необходимо применять релятивистский закон сложения скоростей. Классическая формула сложения скоростей $v_{отн} = v_1 + v_2$ в данном случае неприменима, так как она привела бы к скорости, большей скорости света ($0,7c + 0,7c = 1,4c$), что невозможно.

Выберем систему отсчета S, связанную с неподвижным наблюдателем. Направим ось OX по вектору скорости первого корабля. Тогда скорость первого корабля в системе S равна $u = v_1 = 0,7c$.

Второй корабль движется в противоположном направлении, поэтому его скорость в системе S равна $v = -v_2 = -0,7c$.

Чтобы найти скорость второго корабля относительно первого, перейдем в систему отсчета S', связанную с первым кораблем. Скорость второго корабля в системе S' ($v'$) находится по релятивистской формуле преобразования скоростей:

$v' = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}}$

Подставим числовые значения:

$v' = \frac{-0,7c - 0,7c}{1 - \frac{(-0,7c)(0,7c)}{c^2}} = \frac{-1,4c}{1 - (\frac{-0,49c^2}{c^2})} = \frac{-1,4c}{1 + 0,49} = \frac{-1,4c}{1,49}$

Знак "минус" показывает, что с точки зрения первого корабля второй удаляется в отрицательном направлении оси OX. Искомая относительная скорость $v_{отн}$ равна модулю этого значения:

$v_{отн} = |v'| = \frac{1,4}{1,49}c \approx 0,939597c$

Округляя результат до сотых, как в ответе из условия, получаем:

$v_{отн} \approx 0,94c$

Теперь переведем эту скорость в м/с. Для получения ответа, указанного в задаче, используем значение скорости света $c \approx 2,998 \cdot 10^8$ м/с:

$v_{отн} \approx 0,94 \cdot 2,998 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2,81812 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

С округлением до четырех значащих цифр получаем:

$v_{отн} \approx 2,818 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: $0,94c = 2,818 \cdot 10^8$ м/с.