Номер 2, страница 13, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Край круга, радиус которого равен 1 м, вращается вокруг своей оси со скоростью 0,99 с. Найдите отношение длины окружности круга и его радиуса.

Ответ: 0,88.

Дано:

Радиус круга, $R = 1$ м

Скорость точек на краю круга, $v = 0,99c$ (где $\text{c}$ – скорость света)

Примечание: Условие "вращается... со скоростью 0,99 с" является физически некорректным. "с" (секунда) — единица времени, а не скорости. Однако, если предположить, что имелась в виду скорость $v = 0,99c$ (99% от скорости света), то задача приобретает смысл в рамках специальной теории относительности, и ее решение приводит к ответу, близкому к указанному в задании (0,88). Далее приводится решение, основанное на этом предположении.

Найти:

Отношение длины окружности круга к его радиусу, $L/R$.

Решение:

В специальной теории относительности (СТО) размеры тел, движущихся с околосветовыми скоростями, изменяются для внешнего наблюдателя. Длина объекта сокращается в направлении движения (Лоренцево сокращение), а размеры, перпендикулярные движению, остаются неизменными.

1. Для вращающегося круга, его радиус $\text{R}$ в любой точке перпендикулярен вектору мгновенной скорости этой точки. Следовательно, радиус не испытывает Лоренцева сокращения, и его наблюдаемая длина совпадает с его собственной длиной: $R_{набл} = R = 1$ м.

2. Длина окружности $\text{L}$, наоборот, в каждой своей точке направлена вдоль вектора скорости. Поэтому наблюдатель будет измерять сокращенную длину окружности. Собственная длина окружности (в системе отсчета, связанной с кругом) вычисляется по классической формуле: $L_0 = 2 \pi R$.

3. Сокращенная длина $\text{L}$ связана с собственной длиной $L_0$ через релятивистский фактор Лоренца $\gamma$:

$L = \frac{L_0}{\gamma}$

Фактор Лоренца определяется формулой:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

4. Вычислим фактор Лоренца для скорости $v = 0,99c$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0,99c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,99^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9801}} = \frac{1}{\sqrt{0,0199}}$

$\gamma \approx \frac{1}{0,141067} \approx 7,0888$

5. Теперь найдем искомое отношение наблюдаемой длины окружности $\text{L}$ к наблюдаемому радиусу $\text{R}$:

$\frac{L}{R} = \frac{L_0 / \gamma}{R} = \frac{2 \pi R / \gamma}{R} = \frac{2 \pi}{\gamma}$

6. Подставим вычисленное значение $\gamma$ и значение $\pi \approx 3,14159$:

$\frac{L}{R} \approx \frac{2 \times 3,14159}{7,0888} \approx \frac{6,28318}{7,0888} \approx 0,88635$

При округлении до двух знаков после запятой, результат равен 0,89. Значение 0,88, указанное в ответе к задаче, могло быть получено при использовании приближенных значений $\pi$ или $\gamma$ на промежуточных этапах расчета.

Ответ: $\frac{L}{R} \approx 0,89$.