Номер 6, страница 44, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*6. Сколько энергии излучает абсолютно черное тело за 1 с со светящейся поверхности площадью 1 см², если максимум излучательной способности приходится на длину волны $\lambda_m = 725\text{ нм}$?

Ответ: 1,45 кДж.

Дано:

$t = 1 \text{ с}$

$S = 1 \text{ см}^2$

$\lambda_m = 725 \text{ нм}$

Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma \approx 5.67 \cdot 10^{-8} \text{ Вт/(м}^2 \cdot \text{К}^4\text{)}$

Постоянная Вина $b \approx 2.898 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К}$

Переведем данные в систему СИ:

$S = 1 \text{ см}^2 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$

$\lambda_m = 725 \text{ нм} = 725 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 7.25 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

$\text{E}$ - энергия излучения.

Решение:

Энергия, излучаемая абсолютно черным телом, описывается законом Стефана-Больцмана. Полная мощность излучения $\text{P}$ с поверхности площадью $\text{S}$ определяется формулой:

$P = \sigma T^4 S$

где $\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана, а $\text{T}$ - термодинамическая температура тела.

Полная энергия $\text{E}$, излученная за время $\text{t}$, равна произведению мощности на время:

$E = P \cdot t = \sigma T^4 S t$

Для вычисления энергии нам необходимо найти температуру $\text{T}$ тела. Мы можем найти ее, используя закон смещения Вина, который связывает температуру абсолютно черного тела с длиной волны $\lambda_m$, на которую приходится максимум его излучательной способности:

$\lambda_m T = b$

где $\text{b}$ - постоянная Вина.

Выразим температуру $\text{T}$ из закона Вина:

$T = \frac{b}{\lambda_m}$

Подставим это выражение для температуры в формулу для энергии:

$E = \sigma \left(\frac{b}{\lambda_m}\right)^4 S t$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$E = 5.67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} \cdot \left(\frac{2.898 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К}}{7.25 \cdot 10^{-7} \text{ м}}\right)^4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 1 \text{ с}$

Сначала вычислим температуру:

$T = \frac{2.898 \cdot 10^{-3}}{7.25 \cdot 10^{-7}} \text{ К} \approx 3997.24 \text{ К}$

Теперь подставим это значение в формулу для энергии:

$E \approx 5.67 \cdot 10^{-8} \cdot (3997.24)^4 \cdot 10^{-4} \cdot 1 \text{ Дж}$

$E \approx 5.67 \cdot 10^{-8} \cdot (2.556 \cdot 10^{14}) \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

$E \approx 5.67 \cdot 2.556 \cdot 10^{-8+14-4} \text{ Дж}$

$E \approx 14.482 \cdot 10^2 \text{ Дж} \approx 1448.2 \text{ Дж}$

Переведем результат в килоджоули, разделив на 1000:

$E = \frac{1448.2}{1000} \text{ кДж} \approx 1.45 \text{ кДж}$

Ответ: $1.45 \text{ кДж}$.