Творческое задание, страница 43, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

Составьте две задачи: одну — на закон Стефана — Больцмана; вторую — на закон Вина. Поменяйтесь задачами с соседом по парте, решите их. Вместе обсудите условия и решения этих задач, проведите взаимное оценивание.

Задача на закон Стефана—Больцмана

Солнце можно считать абсолютно черным телом. Его температура поверхности составляет примерно 5800 K, а радиус — $6,96 \cdot 10^8$ м. Вычислите полную мощность излучения Солнца.

Дано:

Температура поверхности Солнца $T = 5800 \text{ К}$

Радиус Солнца $R = 6,96 \cdot 10^8 \text{ м}$

Постоянная Стефана—Больцмана $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$

Коэффициент излучения (степень черноты) $\epsilon = 1$

Найти:

$\text{P}$ - полную мощность излучения Солнца.

Решение:

Закон Стефана—Больцмана описывает полную мощность, излучаемую с единицы площади поверхности абсолютно черного тела. Полная мощность $\text{P}$, излучаемая всем телом, определяется формулой:

$P = \epsilon \sigma S T^4$

где $\epsilon$ — коэффициент излучения, $\sigma$ — постоянная Стефана—Больцмана, $\text{S}$ — площадь поверхности тела, $\text{T}$ — абсолютная температура тела.

Поскольку Солнце в задаче рассматривается как сфера, его площадь поверхности $\text{S}$ вычисляется по формуле:

$S = 4 \pi R^2$

Подставим это выражение в формулу мощности:

$P = \epsilon \sigma (4 \pi R^2) T^4$

Все данные уже представлены в системе СИ. Подставим числовые значения. Для абсолютно черного тела $\epsilon = 1$.

1. Вычислим площадь поверхности Солнца:

$S = 4 \cdot 3,14159 \cdot (6,96 \cdot 10^8 \text{ м})^2 = 4 \cdot 3,14159 \cdot 48,4416 \cdot 10^{16} \text{ м}^2 \approx 6,088 \cdot 10^{18} \text{ м}^2$

2. Вычислим четвертую степень температуры:

$T^4 = (5800 \text{ К})^4 = (5,8 \cdot 10^3 \text{ К})^4 = (5,8)^4 \cdot (10^3)^4 \text{ К}^4 \approx 1131,65 \cdot 10^{12} \text{ К}^4 \approx 1,132 \cdot 10^{15} \text{ К}^4$

3. Вычислим полную мощность излучения:

$P = 1 \cdot (5,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}) \cdot (6,088 \cdot 10^{18} \text{ м}^2) \cdot (1,132 \cdot 10^{15} \text{ К}^4)$

$P = (5,67 \cdot 6,088 \cdot 1,132) \cdot 10^{-8 + 18 + 15} \text{ Вт}$

$P \approx 39,0 \cdot 10^{25} \text{ Вт} = 3,9 \cdot 10^{26} \text{ Вт}$

Ответ: полная мощность излучения Солнца составляет примерно $3,9 \cdot 10^{26}$ Вт.

Задача на закон Вина

Температура поверхности тела здорового человека составляет примерно 36,6 °C. Считая тело человека излучателем, близким к абсолютно черному телу, определите длину волны, на которую приходится максимум энергии его излучения. В какой области спектра находится эта длина волны?

Дано:

Температура поверхности тела $t = 36,6 \text{ °C}$

Постоянная Вина $b = 2,898 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К}$

Перевод в систему СИ:

Абсолютная температура $T = 36,6 + 273,15 = 309,75 \text{ К}$

Найти:

$\lambda_{max}$ - длину волны максимального излучения.

Решение:

Закон смещения Вина связывает температуру абсолютно черного тела $\text{T}$ с длиной волны $\lambda_{max}$, на которой его излучательная способность максимальна.

Формула закона Вина имеет вид:

$\lambda_{max} = \frac{b}{T}$

где $\text{b}$ — постоянная Вина, а $\text{T}$ — абсолютная температура в Кельвинах.

В условии задачи температура дана в градусах Цельсия, поэтому первым шагом мы перевели ее в абсолютную температуру по шкале Кельвина. Этот расчет был приведен при переводе данных в систему СИ:

$T = 309,75 \text{ К}$

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу закона Вина, чтобы найти $\lambda_{max}$:

$\lambda_{max} = \frac{2,898 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К}}{309,75 \text{ К}} \approx 0,0093559... \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Округлим результат и представим его в стандартном виде:

$\lambda_{max} \approx 9,356 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Эту величину удобно выразить в микрометрах (мкм), где $1 \text{ мкм} = 10^{-6} \text{ м}$:

$\lambda_{max} \approx 9,36 \text{ мкм}$

Полученная длина волны ($9,36 \text{ мкм}$) находится в инфракрасной (ИК) области электромагнитного спектра. Для сравнения, диапазон видимого света составляет примерно от 0,38 мкм до 0,74 мкм. Это объясняет, почему мы не видим тепловое излучение от человеческих тел, но можем его почувствовать или зарегистрировать с помощью тепловизоров.

Ответ: длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения человеческого тела, равна примерно $9,36 \cdot 10^{-6}$ м (9,36 мкм). Эта длина волны находится в инфракрасной области спектра.