Номер 1, страница 116, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Докажите эквивалентность формул для вычисления дефекта массы: $\Delta M = Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n - M_\text{я}$, $\Delta M = Z M_H + (A-Z) \cdot m_n - M_a$, где $M_\text{я}$ — масса ядра; $M_a$ — масса атома.

1. Дано:

Две формулы для вычисления дефекта массы:

Формула 1: $\Delta M = Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - M_я$

Формула 2: $\Delta M = Z \cdot M_H + (A - Z) \cdot m_n - M_a$

Где $M_я$ — масса ядра, $M_a$ — масса атома, $m_p$ — масса протона, $m_n$ — масса нейтрона, $m_e$ — масса электрона, $M_H$ — масса атома водорода, $\text{Z}$ — зарядовое число (число протонов), $\text{A}$ — массовое число.

Найти:

Доказать эквивалентность двух формул для вычисления дефекта массы.

Решение:

Для доказательства эквивалентности двух формул необходимо выразить одну через другую. Для этого преобразуем вторую формулу, используя определения массы атома ($M_a$) и массы атома водорода ($M_H$).

Масса нейтрального атома $M_a$ складывается из массы ядра $M_я$ и суммарной массы $\text{Z}$ электронов, находящихся на его оболочках. Энергией связи электронов в атоме можно пренебречь, так как она на несколько порядков меньше энергии связи нуклонов в ядре. Таким образом, можно записать:

$M_a \approx M_я + Z \cdot m_e$

Аналогично, масса атома водорода $M_H$ (изотоп протий $^1_1H$), который состоит из одного протона и одного электрона, выражается как:

$M_H \approx m_p + m_e$

Теперь подставим полученные выражения для $M_a$ и $M_H$ во вторую исходную формулу:

$\Delta M = Z \cdot M_H + (A - Z) \cdot m_n - M_a$

$\Delta M = Z \cdot (m_p + m_e) + (A - Z) \cdot m_n - (M_я + Z \cdot m_e)$

Раскроем скобки в полученном выражении:

$\Delta M = Z \cdot m_p + Z \cdot m_e + (A - Z) \cdot m_n - M_я - Z \cdot m_e$

В этом выражении два члена, $Z \cdot m_e$ и $-Z \cdot m_e$, взаимно уничтожаются:

$\Delta M = Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - M_я$

Полученное выражение в точности совпадает с первой формулой для дефекта массы. Следовательно, обе формулы эквивалентны при допущении, что энергией связи электронов в атоме можно пренебречь, что является стандартным приближением в ядерной физике.

Использование второй формулы часто предпочтительнее на практике, так как массы атомов ($M_a$ и $M_H$) определяются экспериментально с гораздо большей точностью, чем массы свободных ядер ($M_я$).

Ответ: Эквивалентность формул $\Delta M = Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - M_я$ и $\Delta M = Z \cdot M_H + (A - Z) \cdot m_n - M_a$ доказана. Преобразование второй формулы с использованием приближенных равенств для масс атома ($M_a \approx M_я + Z \cdot m_e$) и атома водорода ($M_H \approx m_p + m_e$) приводит её к виду первой формулы.