Номер 10, страница 116, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

10. Энергия связи ядра одного из изотопов бериллия превышает энергию связи ядра его изотопа $^9_4\text{Be}$ на $\Delta E_{св} = 38,6 \text{ МэВ}$, а разность масс их атомов составляет $\Delta M = 5,00188 \text{ а.е.м.}$ Определите неизвестный изотоп бериллия.

Ответ: $^{14}_4\text{Be}$.

Дано:

Известный изотоп бериллия: $^9_4\text{Be}$

Неизвестный изотоп бериллия: $^A_4\text{Be}$

Разность энергий связи: $\Delta E_{св} = E_{св}(^A\text{Be}) - E_{св}(^9\text{Be}) = 38,6 \text{ МэВ}$

Разность масс атомов: $\Delta M = M(^A\text{Be}) - M(^9\text{Be}) = 5,00188 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n \approx 1,00866 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $c^2 \cdot 1 \text{ а.е.м.} \approx 931,5 \text{ МэВ}$

Перевод в систему СИ:

$\Delta E_{св} = 38,6 \text{ МэВ} = 38,6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 6,18 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

$\Delta M = 5,00188 \text{ а.е.м.} = 5,00188 \cdot 1,6605 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 8,3056 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Найти:

Массовое число $\text{A}$ неизвестного изотопа.

Решение:

Энергия связи ядра $E_{св}$ связана с массами составляющих его нуклонов (протонов и нейтронов) и массой самого ядра $m_я$. Удобнее выразить ее через массы атомов, чтобы учесть массу электронов. Для атома с зарядовым числом $\text{Z}$ и массовым числом $\text{A}$ энергия связи равна:

$E_{св} = [Z \cdot m_H + (A-Z) \cdot m_n - M_{атом}] \cdot c^2$

где $m_H$ — масса атома водорода (протон + электрон), $m_n$ — масса нейтрона, $M_{атом}$ — масса атома.

Запишем это выражение для двух изотопов бериллия ($Z=4$):

Для неизвестного изотопа $^A_4\text{Be}$:

$E_{св}(^A\text{Be}) = [4 m_H + (A-4) m_n - M(^A\text{Be})] \cdot c^2$

Для известного изотопа $^9_4\text{Be}$:

$E_{св}(^9\text{Be}) = [4 m_H + (9-4) m_n - M(^9\text{Be})] \cdot c^2 = [4 m_H + 5 m_n - M(^9\text{Be})] \cdot c^2$

Найдем разность энергий связи $\Delta E_{св}$, вычитая второе уравнение из первого:

$\Delta E_{св} = E_{св}(^A\text{Be}) - E_{св}(^9\text{Be}) = ([4 m_H + (A-4) m_n - M(^A\text{Be})] - [4 m_H + 5 m_n - M(^9\text{Be})]) \cdot c^2$

Упростим выражение, раскрыв скобки. Члены $4 m_H$ взаимно уничтожаются:

$\Delta E_{св} = [(A-4) m_n - 5 m_n - (M(^A\text{Be}) - M(^9\text{Be}))] \cdot c^2$

$\Delta E_{св} = [(A-9) m_n - \Delta M] \cdot c^2$

Выразим из этой формулы искомое массовое число $\text{A}$. Сначала разделим обе части на $c^2$:

$\frac{\Delta E_{св}}{c^2} = (A-9) m_n - \Delta M$

$(A-9) m_n = \frac{\Delta E_{св}}{c^2} + \Delta M$

$A-9 = \frac{\frac{\Delta E_{св}}{c^2} + \Delta M}{m_n}$

Для удобства расчетов переведем разность энергий $\Delta E_{св}$ в эквивалентную ей массу в а.е.м., используя соотношение $931,5 \text{ МэВ/а.е.м.}$:

$\frac{\Delta E_{св}}{c^2} = \frac{38,6 \text{ МэВ}}{931,5 \text{ МэВ/а.е.м.}} \approx 0,04144 \text{ а.е.м.}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для $A-9$:

$A-9 = \frac{0,04144 \text{ а.е.м.} + 5,00188 \text{ а.е.м.}}{1,00866 \text{ а.е.м.}} = \frac{5,04332}{1,00866} \approx 5,00002$

Поскольку разность массовых чисел $(A-9)$ должна быть целым числом, округляем полученное значение до ближайшего целого:

$A-9 = 5$

$A = 9 + 5 = 14$

Следовательно, неизвестным изотопом является бериллий-14.

Ответ: $^ {14}_4\text{Be}$