Номер 9, страница 164, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

9. На расстоянии 10 пк от Солнца взорвалась новая звезда, расширяющаяся со скоростью 10 000 км/ч. Какой угловой размер будет иметь туманность через 50 лет?

Ответ: $20^\prime$.

Дано:

Расстояние до звезды $R = 10$ пк (парсек)

Скорость расширения $v = 10\,000$ км/ч

Время $t = 50$ лет

Перевод величин в систему СИ и другие удобные для расчетов единицы:

1 пк $\approx 3.086 \cdot 10^{16}$ м $\approx 206265$ а.е. (астрономических единиц)

1 год $\approx 3.156 \cdot 10^7$ с

1 а.е. $\approx 1.496 \cdot 10^8$ км $R = 10 \text{ пк} = 10 \cdot 3.086 \cdot 10^{16} \text{ м} = 3.086 \cdot 10^{17} \text{ м}$ $v = 10\,000 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 10\,000 \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 2778 \text{ м/с}$ $t = 50 \text{ лет} = 50 \cdot 3.156 \cdot 10^7 \text{ с} \approx 1.578 \cdot 10^9 \text{ с}$

Найти:

Угловой размер туманности $\alpha$.

Решение:

Сначала проведем расчет с данными, указанными в условии задачи.

1. Найдем линейный радиус $\text{r}$ туманности, который она достигнет за 50 лет. Радиус равен произведению скорости расширения на время: $r = v \cdot t \approx 2778 \text{ м/с} \cdot 1.578 \cdot 10^9 \text{ с} \approx 4.384 \cdot 10^{12} \text{ м}$

Линейный диаметр туманности $\text{D}$ равен двум радиусам: $D = 2r \approx 2 \cdot 4.384 \cdot 10^{12} \text{ м} = 8.768 \cdot 10^{12} \text{ м}$

2. Угловой размер $\alpha$ для малых углов определяется по формуле: $\alpha_{рад} = \frac{D}{R}$

Подставим значения: $\alpha_{рад} = \frac{8.768 \cdot 10^{12} \text{ м}}{3.086 \cdot 10^{17} \text{ м}} \approx 2.841 \cdot 10^{-5} \text{ рад}$

3. Переведем полученное значение из радиан в угловые минуты ('). Учитывая, что $1 \text{ рад} = \frac{180 \cdot 60}{\pi} \approx 3438'$, получим: $\alpha' = \alpha_{рад} \cdot 3438 \approx 2.841 \cdot 10^{-5} \cdot 3438 \approx 0.098'$

Полученный ответ $\approx 0.1'$ кардинально расходится с ответом, приведенным в задаче (20'). Расхождение составляет более чем в 200 раз. Это указывает на наличие опечатки в исходных данных. Наиболее вероятной ошибкой является значение скорости расширения, так как $10\,000 \text{ км/ч}$ (что равно $\approx 2.8 \text{ км/с}$) — это нереалистично малая скорость для оболочки новой звезды, чьи скорости расширения обычно составляют сотни или тысячи км/с.

Проведем обратный расчет, чтобы определить, какая скорость расширения привела бы к ответу в 20'.

1. Угловой размер $\alpha = 20'$. Переведем его в радианы: $\alpha_{рад} = 20' = \frac{20}{60} \text{ град} = \frac{1}{3} \text{ град} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 0.00582 \text{ рад}$

2. Зная угловой размер и расстояние, найдем истинный линейный диаметр $\text{D}$ туманности: $D = \alpha_{рад} \cdot R \approx 0.00582 \cdot 3.086 \cdot 10^{17} \text{ м} \approx 1.796 \cdot 10^{15} \text{ м}$

3. Теперь найдем скорость $\text{v}$, необходимую для достижения такого диаметра за 50 лет. Так как $D = 2 \cdot v \cdot t$, то: $v = \frac{D}{2t} \approx \frac{1.796 \cdot 10^{15} \text{ м}}{2 \cdot 1.578 \cdot 10^9 \text{ с}} \approx 569000 \text{ м/с}$

4. Переведем скорость в км/с: $v \approx 569 \text{ км/с}$

Скорость расширения около $570 \text{ км/с}$ является типичной для остатков новых звезд. Таким образом, для получения ответа, указанного в задачнике, необходимо исходить из того, что в условии допущена опечатка, и правильная скорость расширения составляет примерно $570 \text{ км/с}$.

Ответ: 20'.