Номер 6, страница 181 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

6. Активность изотопа углерода $_{6}^{14}C$ в древних деревянных предметах составляет $\frac{2}{3}$ активности этого изотопа в свежесрубленных деревьях. Оцените с точностью до тысячи лет возраст древних предметов, если период полураспада атомов $_{6}^{14}C$ 5570 лет.

Ответ: $\approx 3000$ лет.

Дано:

Соотношение текущей активности $\text{A}$ к начальной $A_0$: $\frac{A}{A_0} = \frac{2}{3}$

Период полураспада изотопа углерода ${}_{6}^{14}\text{C}$: $T_{1/2} = 5570$ лет

В данной задаче все величины выражены в подходящих для расчёта единицах (годы), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Возраст древних предметов $\text{t}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает уменьшение активности радиоактивного вещества со временем. Активность $\text{A}$ в момент времени $\text{t}$ связана с начальной активностью $A_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$ следующим соотношением:

$A(t) = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Здесь $A_0$ — это активность ${}^{14}\text{C}$ в свежесрубленных деревьях (когда обмен углеродом с атмосферой прекращается), а $A(t)$ — это активность в древних деревянных предметах, возраст которых мы хотим определить.

Из условия задачи известно, что $A(t) = \frac{2}{3}A_0$. Подставим это в формулу закона распада:

$\frac{2}{3}A_0 = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Разделим обе части уравнения на $A_0$ (начальная активность не равна нулю):

$\frac{2}{3} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Чтобы найти время $\text{t}$, необходимо решить это показательное уравнение. Для этого прологарифмируем обе части. Удобнее всего использовать натуральный логарифм ($\ln$):

$\ln\left(\frac{2}{3}\right) = \ln\left(2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}\right)$

Воспользуемся свойством логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$:

$\ln\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{t}{T_{1/2}} \cdot \ln(2)$

Теперь выразим $\text{t}$:

$t = -T_{1/2} \cdot \frac{\ln(2/3)}{\ln(2)}$

Используя еще одно свойство логарифма $\ln(a/b) = -\ln(b/a)$, можно переписать формулу в более удобном виде:

$t = T_{1/2} \cdot \frac{\ln(3/2)}{\ln(2)}$

Подставим известные значения: $T_{1/2} = 5570$ лет. Для вычислений используем значения логарифмов: $\ln(1.5) \approx 0.4055$ и $\ln(2) \approx 0.6931$.

$t = 5570 \cdot \frac{0.4055}{0.6931} \approx 5570 \cdot 0.58506$

$t \approx 3258.8$ лет

В задаче требуется оценить возраст с точностью до тысячи лет. Округляя полученное значение $3258.8$ лет до тысяч, получаем $3000$ лет.

Ответ: возраст древних предметов составляет приблизительно 3000 лет.